Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 990 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
а) \((x — 8)(x + 8) — (x — 12)(x + 12);\)
б) \(\left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) + \left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right).\)
а) \((x — 8)(x + 8) — (x — 12)(x + 12)\)
Используем формулу разности квадратов:
\((x — 8)(x + 8) = x^2 — 64\),
\((x — 12)(x + 12) = x^2 — 144\).
Подставляем в выражение:
\((x^2 — 64) — (x^2 — 144)\).
Раскрываем скобки:
\(x^2 — 64 — x^2 + 144\).
Приводим подобные:
\(144 — 64 = 80\).
Ответ:
Значение выражения равно \(80\), и оно не зависит от значения переменной \(x\).
б) \(\left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) + \left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right)\)
Используем формулу разности квадратов:
\(\left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) = y^2 — \left(\frac{5}{9}\right)^2 = y^2 — \frac{25}{81}\),
\(\left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 — y^2 = \frac{4}{9} — y^2\).
Складываем эти выражения:
\((y^2 — \frac{25}{81}) + (\frac{4}{9} — y^2)\).
Приводим подобные:
\(y^2 — y^2 + \frac{4}{9} — \frac{25}{81}\).
Преобразуем дроби:
\(\frac{4}{9} = \frac{36}{81}\), поэтому:
\(\frac{36}{81} — \frac{25}{81} = \frac{11}{81}\).
Ответ:
Значение выражения равно \(\frac{11}{81}\), и оно не зависит от значения переменной \(y\).
а) \( (x — 8)(x + 8) — (x — 12)(x + 12) \)
Шаг 1: Воспользуемся формулой разности квадратов. Формула разности квадратов выглядит так:
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \).
В применении к нашему выражению:
Первое произведение: \( (x — 8)(x + 8) \). Здесь \( a = x \) и \( b = 8 \), применяем формулу разности квадратов:
\( (x — 8)(x + 8) = x^2 — 8^2 = x^2 — 64 \).
Второе произведение: \( (x — 12)(x + 12) \). Здесь \( a = x \) и \( b = 12 \), применяем формулу разности квадратов:
\( (x — 12)(x + 12) = x^2 — 12^2 = x^2 — 144 \).
Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное уравнение:
\( (x^2 — 64) — (x^2 — 144) \).
Шаг 3: Раскроем скобки, помня, что знак минус перед скобками изменяет знак каждого элемента во второй скобке:
\( x^2 — 64 — x^2 + 144 \).
Шаг 4: Теперь приведем подобные члены. У нас есть два \( x^2 \): \( x^2 — x^2 \), которые сокращаются, оставив только числа:
\( -64 + 144 = 80 \).
Ответ: Значение выражения равно \( 80 \), и оно не зависит от значения переменной \( x \). Это тождество, которое всегда равно 80.
б) \( \left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) + \left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right) \)
Шаг 1: Сначала используем формулу разности квадратов для каждого произведения. Напоминаю, что формула разности квадратов выглядит так:
\( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \).
Первое произведение: \( \left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) \). Здесь \( a = y \) и \( b = \frac{5}{9} \), применяем формулу разности квадратов:
\( \left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) = y^2 — \left(\frac{5}{9}\right)^2 \).
Вычисляем квадрат дроби \( \left(\frac{5}{9}\right)^2 = \frac{25}{81} \), и получаем:
\( \left(y — \frac{5}{9}\right)\left(y + \frac{5}{9}\right) = y^2 — \frac{25}{81} \).
Второе произведение: \( \left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right) \). Здесь \( a = \frac{2}{3} \) и \( b = y \), применяем формулу разности квадратов:
\( \left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 — y^2 \).
Вычисляем квадрат \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \), и получаем:
\( \left(\frac{2}{3} — y\right)\left(\frac{2}{3} + y\right) = \frac{4}{9} — y^2 \).
Шаг 2: Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
\( \left(y^2 — \frac{25}{81}\right) + \left(\frac{4}{9} — y^2\right) \).
Шаг 3: Теперь нужно привести подобные члены. У нас есть \( y^2 \) и \( -y^2 \), которые сокращаются:
\( y^2 — y^2 = 0 \).
Теперь у нас остается:
\( — \frac{25}{81} + \frac{4}{9} \).
Шаг 4: Преобразуем дроби, чтобы привести их к общему знаменателю. У нас есть \( \frac{4}{9} \) и \( \frac{25}{81} \). Приводим \( \frac{4}{9} \) к знаменателю 81:
\( \frac{4}{9} = \frac{36}{81} \).
Шаг 5: Теперь вычислим разницу между дробями:
\( \frac{36}{81} — \frac{25}{81} = \frac{36 — 25}{81} = \frac{11}{81} \).
Ответ: Значение выражения равно \( \frac{11}{81} \), и оно не зависит от значения переменной \( y \).
Алгебра
