ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 717 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Три последовательных нечётных числа таковы, что если из произведения двух больших чисел вычесть произведение двух меньших, то получится 76. Найдите эти числа.

17, 19, 21.

1. Обозначим числа:
   Пусть три последовательных нечётных числа имеют вид:
   \( 2n+1, \, 2n+3, \, 2n+5, \)
   где \(n\) — натуральное число.
2. Составим уравнение:
   По условию задачи:
   \( (2n+3)(2n+5) — (2n+1)(2n+3) = 76. \)
3. Раскроем скобки:
   Раскроем каждое произведение:
   \( (2n+3)(2n+5) = 4n^2 + 10n + 6n + 15 = 4n^2 + 16n + 15, \)
   \( (2n+1)(2n+3) = 4n^2 + 6n + 2n + 3 = 4n^2 + 8n + 3. \)
4. Подставим в уравнение:
   \( (4n^2 + 16n + 15) — (4n^2 + 8n + 3) = 76. \)
   Упростим:
   \( 4n^2 + 16n + 15 — 4n^2 — 8n — 3 = 76. \)
   \( 8n + 12 = 76. \)
5. Решим уравнение:
   Вычтем 12 из обеих частей:
   \( 8n = 76 — 12, \)
   \( 8n = 64. \)
   Разделим обе части на 8:
   \( n = 8. \)
6. Найдём числа:
   Подставим \(n = 8\) в выражения для чисел:
   — Первое число: \( 2n+1 = 2 \cdot 8 + 1 = 17 \),
   — Второе число: \( 2n+3 = 2 \cdot 8 + 3 = 19 \),
   — Третье число: \( 2n+5 = 2 \cdot 8 + 5 = 21 \).

Проверка:

1. Произведение двух больших чисел:
   \( (2n+3)(2n+5) = 19 \cdot 21 = 399. \)
2. Произведение двух меньших чисел:
   \( (2n+1)(2n+3) = 17 \cdot 19 = 323. \)
3. Разность:
   \( 399 — 323 = 76. \)
   Условие выполняется.

Ответ:
Три последовательных нечётных числа: 17, 19, 21.