ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 559 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

a) 10^7 и 2^8. 5^7;
б) 6^12 и 2^13 . 3^11;
в) 25^25 и 2^50 . 3^50;
г) 63^30 и 3^60 . 5^30.

а)

$$10^7 < 2^8 \cdot 5^7$$

$$10^7 < 2^{1+7} \cdot 5^7$$

$$10^7 < 2^1 \cdot 2^7 \cdot 5^7$$

$$10^7 < 2 \cdot (2 \cdot 5)^7$$

$$10^7 < 2 \cdot 10^7$$

б)

$$6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$$

$$6^{1+11} > 2^{2+11} \cdot 3^{11}$$

$$6^1 \cdot 6^{11} > 2^2 \cdot 2^{11} \cdot 3^{11}$$

$$6 \cdot 6^{11} > 4 \cdot (2 \cdot 3)^{11}$$

$$6 \cdot 6^{11} > 4 \cdot 6^{11}$$

в)

$$25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$$

$$(5^2)^{25} < (2 \cdot 3)^{50}$$

$$5^{2 \cdot 25} < 6^{50}$$

$$5^{50} < 6^{50}$$

г)

$$63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$$

$$63^{30} > 3^{30+30} \cdot 5^{30}$$

$$63^{30} > 3^{30} \cdot 3^{30} \cdot 5^{30}$$

$$63^{30} > (3 \cdot 3 \cdot 5)^{30}$$

$${63}^{30}>{45}^{30}$$

а)

Сравниваем

$10^7$

и

$2^8 \cdot 5^7$

.

Решение:

Разложим

$10^7$

:

$$10^7 = (2 \cdot 5)^7 = 2^7 \cdot 5^7$$

Таким образом,

$10^7 = 2^7 \cdot 5^7$

.

Сравним с

$2^8 \cdot 5^7$

:

$$2^8 \cdot 5^7 = 2 \cdot 2^7 \cdot 5^7 = 2 \cdot 10^7$$

Мы видим, что:

$$2^8 \cdot 5^7 = 2 \cdot 10^7.$$

Следовательно, мы получаем:

$$10^7 < 2^8 \cdot 5^7$$

Это очевидно, так как

$2 \cdot 10^7 > 10^7$

.

Ответ для а):

$10^7 < 2^8 \cdot 5^7$

— верно.

б)

Сравниваем

$6^{12}$

и

$2^{13} \cdot 3^{11}$

.

Решение:

Разложим

$6^{12}$

:

$$6^{12} = (2 \cdot 3)^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12}.$$

Таким образом,

$6^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12}$

.

Рассмотрим правую часть:

$$2^{13} \cdot 3^{11} = 2 \cdot 2^{12} \cdot 3^{11}.$$

Мы видим, что

$2^{12}$

и

$3^{11}$

в правой части чуть меньше, чем

$2^{12} \cdot 3^{12}$

в левой части, так как показатель степени для 3 в правой части меньше на 1.

Сравниваем две части:

$$6^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}.$$

Это истинно, так как

$3^{12} > 3^{11}$

.

Ответ для б):

$6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$

— верно.

в)

Сравниваем

$25^{25}$

и

$2^{50} \cdot 3^{50}$

.

Решение:

Разложим

$25^{25}$

:

$$25^{25} = (5^2)^{25} = 5^{50}.$$

Таким образом,

$25^{25} = 5^{50}$

.

Теперь рассмотрим правую часть:

$$2^{50} \cdot 3^{50} = (2 \cdot 3)^{50} = 6^{50}.$$

Сравнение

$5^{50}$

и

$6^{50}$

: Мы знаем, что

$5 < 6$

, и следовательно:

$$5^{50} < 6^{50}.$$

Таким образом:

$$25^{25} = 5^{50} < 6^{50} = 2^{50} \cdot 3^{50}.$$

Ответ для в):

$25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$

— верно.

г)

Сравниваем

$63^{30}$

и

$3^{60} \cdot 5^{30}$

.

Решение:

Разложим

$63^{30}$

:

$$63 = 3^2 \cdot 7, \quad \text{следовательно,} \quad 63^{30} = (3^2 \cdot 7)^{30} = 3^{60} \cdot 7^{30}.$$

Теперь рассмотрим правую часть:

$$3^{60} \cdot 5^{30}.$$

Сравнение: Мы видим, что

$63^{30} = 3^{60} \cdot 7^{30}$

, а правая часть

$3^{60} \cdot 5^{30}$

отличается от левой части тем, что вместо множителя

$7^{30}$

имеется

$5^{30}$

.

Сравнение

$7^{30}$

и

$5^{30}$

: Поскольку

$7 > 5$

, то:

$$7^{30} > 5^{30}.$$

Следовательно:

$$3^{60} \cdot 7^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}.$$

Таким образом:

$$63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}.$$

Ответ для г):

$63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$

— верно.

Итоги:

1. 
   $10^7 < 2^8 \cdot 5^7$ 

   — верно.

2. 
   $6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$ 

   — верно.

3. 
   $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$ 

   — верно.

4. 
   $63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$ 

   — верно.