ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1227 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Пусть первое число будет \( (x — 2) \), второе — \( (x — 1) \), третье — \( x \), четвертое — \( (x + 1) \) и пятое — \( (x + 2) \).

\((x — 2)^2 + (x — 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 + (x + 2)^2 =\)

\(x^2 — 4x + 4 + x^2 — 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 =\)

\(5x^2 + 10 = 5(x^2 + 2).\)

Чтобы выражение \( 5(x^2 + 2) \) было квадратом натурального числа, нужно чтобы \( (x^2 + 2) \) было нечетной степенью числа 5.

\( x^2 + 2 = 5 \)

\( x^2 = 5 + 2 \)

\( x^2 = 7 \) — дробное решение;

\( x^2 + 2 = 5^3 \)

\( x^2 + 2 = 125 \)

\( x^2 = 125 + 2 \)

\( x^2 = 127 \) — дробное решение.

Значит, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Доказательство:

Пусть пять последовательных чисел: \( (x — 2), (x — 1), x, (x + 1), (x + 2) \).

Сумма их квадратов:

Раскроем скобки и упростим выражение:

Предположим, что это выражение является квадратом натурального числа, то есть:

Рассмотрим выражение \( 5(x^2 + 2) = k^2 \). Чтобы это было возможно, \( x^2 + 2 \) должно быть нечетной степенью числа 5, поскольку 5 является простым числом.

Рассмотрим возможные значения:

• Если \( x^2 + 2 = 5 \), то \( x^2 = 3 \), что не является квадратом натурального числа.
• Если \( x^2 + 2 = 125 \) (то есть \( 5^3 \)), то \( x^2 = 123 \), что также не является квадратом натурального числа.

Таким образом, ни для каких значений \( x \) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Заключение:

Сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.