ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 791 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что разность чисел abc и cba, где а ≠ 0, с ≠, кратно 11.

abc — cba = 100a + 10b + c — (100c + 10b + a) = = 100a + 10b + c — 100c — 10b — a = 99a — 99c = = 99(a — c).

Так как множитель 99 делится на 11, то и значение выражения будет кратно 11.

Доказательство кратности разности чисел 11

Докажем, что разность чисел abc и cba, где a ≠ 0, c ≠ a, кратна 11. Проведем подробное объяснение.

Обозначение чисел:

1. Пусть abc — это трехзначное число, где:

   abc = 100a + 10b + c

2. cba — это то же число, но с перестановкой цифр a и c:

   cba = 100c + 10b + a

Найдем разность чисел abc и cba:

abc - cba = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)

Раскроем скобки:

abc - cba = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a

Сгруппируем однотипные слагаемые:

abc - cba = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)

Упростим:

abc - cba = 99a - 99c

Вынесем общий множитель 99:

abc - cba = 99(a - c)

Проверка на кратность 11:

Число 99 можно представить как произведение:

99 = 9 ⋅ 11

Следовательно:

abc - cba = 99(a - c) = 11 ⋅ 9 ⋅ (a - c)

Так как 11 является множителем разности abc - cba, то эта разность всегда кратна 11.

Условия задачи:

1. a ≠ 0: это выполняется, так как a — старшая цифра числа abc, а старшая цифра числа не может быть равна нулю.
2. c ≠ a: это условие также выполняется, так как a и c могут быть разными цифрами.

Итог:

Разность чисел abc и cba всегда кратна 11, что и требовалось доказать.