Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 984 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) (3x + 1)3 = 27x2(x + 1) + 8x + 2;
б) 4x2(2x + 9) = (2x + 3)3 + 12(3x + 1).
a) \( (3x + 1)^3 = 27x^3(x + 1) + 8x + 2 \)
\( (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2 \)
\( 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2 \)
\( 27x^3 + 27x^2 + 9x — 27x^3 — 27x^2 — 8x = 2 — 1 \)
\( 9x — 8x = 1 \)
\( x = 1 \);
б) \( 4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1) \)
\( 8x^3 + 36x^2 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3^3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 + 3^3 + 36x + 12 \)
\( 8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 + 36x + 12 \)
\( 8x^3 + 36x^2 — 8x^3 — 36x^2 — 54x — 36x = 27 + 12 \)
\( -54x — 36x = 39 \)
\( -90x = 39 \)
\( x = -\frac{39}{90} = -\frac{13}{30} \).
а) Решить \( (3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1) + 8x + 2 \)
Раскроем куб первого выражения:
\( (3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 \)
Выполним вычисления:
\( (3x)^3 = 27x^3, \quad 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 = 27x^2, \quad 3 \cdot 3x \cdot 1^2 = 9x, \quad 1^3 = 1 \)
Итак:
\( (3x + 1)^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 \)
Подставим это в уравнение:
\( 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2 \)
Сократим одинаковые слагаемые:
\( 27x^3 — 27x^3 + 27x^2 — 27x^2 + 9x — 8x + 1 — 2 = 0 \)
Упростим:
\( x = 1 \)
Ответ: \( x = 1 \).
б) Решить \( 4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1) \)
Раскроем скобки слева:
\( 4x^2(2x + 9) = 8x^3 + 36x^2 \)
Раскроем куб справа:
\( (2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 + 3^3 \)
Выполним вычисления:
\( (2x)^3 = 8x^3, \quad 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 = 36x^2, \quad 3 \cdot 2x \cdot 3^2 = 54x, \quad 3^3 = 27 \)
Итак:
\( (2x + 3)^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 \)
Раскроем вторую часть справа:
\( 12(3x + 1) = 36x + 12 \)
Объединим правую часть:
\( 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 + 36x + 12 = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39 \)
Теперь уравнение принимает вид:
\( 8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39 \)
Сократим одинаковые слагаемые:
\( 8x^3 — 8x^3 + 36x^2 — 36x^2 = 90x + 39 \)
Упростим:
\( -90x = 39 \)
Найдём \( x \):
\( x = -\frac{39}{90} = -\frac{13}{30} \)
Ответ: \( x = -\frac{13}{30} \).
Алгебра
