Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 981 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения:
а) 834 + 65 кратно 81;
б) 14110 + 88 кратно 139.
а) \( 83^4 + 65 \) кратно 81, так как при разложении выражения все его слагаемые делятся на 81.
б) \( 141^{10} + 88 \) кратно 139, так как при разложении выражения все его слагаемые делятся на 139.
а) \( 83^4 + 65 \) кратно 81
Разложим число \( 83 \) как сумму:
\( 83 = 81 + 2 \)
Тогда:
\( 83^4 + 65 = (81 + 2)^4 + 65 \)
Раскроем скобки по формуле бинома Ньютона:
\( (81 + 2)^4 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 81 \cdot 2^3 + 2^4 \)
Подставим это в выражение:
\( 83^4 + 65 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 81 \cdot 2^3 + 2^4 + 65 \)
Заметим, что все слагаемые, кроме \( 2^4 + 65 \), делятся на 81:
\( 2^4 = 16 \), тогда:
\( 16 + 65 = 81 \)
Таким образом, всё выражение делится на 81.
Ответ: \( 83^4 + 65 \) кратно 81.
б) \( 141^{10} + 88 \) кратно 139
Разложим число \( 141 \) как сумму:
\( 141 = 139 + 2 \)
Тогда:
\( 141^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} + 88 \)
Раскроем скобки по формуле бинома Ньютона:
\( (139 + 2)^{10} = 139^{10} + 10 \cdot 139^9 \cdot 2 + \ldots + 2^{10} \)
Подставим это в выражение:
\( 141^{10} + 88 = 139^{10} + 10 \cdot 139^9 \cdot 2 + \ldots + 2^{10} + 88 \)
Заметим, что все слагаемые, кроме \( 2^{10} + 88 \), делятся на 139:
\( 2^{10} = 1024 \), тогда:
\( 1024 + 88 = 1112 \)
Проверим делимость \( 1112 \) на 139:
\( 1112 = 8 \cdot 139 \)
Таким образом, всё выражение делится на 139.
Ответ: \( 141^{10} + 88 \) кратно 139.
Алгебра
