Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 927 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Запишите в виде произведения:
а) −x3 + y3;
б) −8 − p3;
в) −a6 + 18;
г) −1/27 − b6;
д) c6 + 1;
е) x6 + y6.
a) \(-x^3 + y^3 = y^3 — x^3 =\)
\((y — x)(y^2 + xy + x^2)\);
б) \(-8 — p^3 = -(8 + p^3) = -(2^3 + p^3) = -(2 + p)(2^2 — 2 \cdot p + p^2) =\)
\(-(2 + p)(4 — 2p + p^3)\);
в) \( \text{B)} -a^6 + \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 — \left(a^2\right)^3 = \left(\frac{1}{2} — a^2\right)\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4\right) \)
г) \(-\frac{1}{27} — b^6 = -\left(\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(b^2\right)^3\right) =\)
\(-\left(\frac{1}{3} + b^2\right)\left(\frac{1}{9} — \frac{1}{3}b^2 + b^4\right)\)
\(-(3 + b^2)(3^2 — 3 \cdot b^2 + (b^2)^2) = -(3 + b^2)(9 — 3b^2 + b^4)\);
д) \(c^6 + 1 = (c^2)^3 + 1^3 = (c^2 + 1)((c^2)^2 — c^2 \cdot 1 + 1^2) =\)
\((c^2 + 1)(c^4 — c^2 + 1)\);
е) \(x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 = (x^2 + y^2)((x^2)^2 — x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) =\)
\((x^2 + y^2)(x^4 — x^2y^2 + y^4)\).
a) \( -x^3 + y^3 = y^3 — x^3 = (y — x)(y^2 + xy + x^2) \)
Шаг 1: Используем формулу разности кубов:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)
Шаг 2: Подставляем \( a = y \) и \( b = x \):
\( -x^3 + y^3 = y^3 — x^3 = (y — x)(y^2 + xy + x^2) \)
Ответ: \( (y — x)(y^2 + xy + x^2) \)
б) \( -8 — p^3 = -(8 + p^3) = -(2^3 + p^3) = -(2 + p)(2^2 — 2 \cdot p + p^2) \)
Шаг 1: Преобразуем выражение с использованием разности кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Шаг 2: Подставляем \( a = 2 \) и \( b = p \):
\( -(2 + p)(2^2 — 2 \cdot p + p^2) \)
Шаг 3: Собираем окончательное выражение:
\( -(2 + p)(4 — 2p + p^2) \)
Ответ: \( -(2 + p)(4 — 2p + p^2) \)
в) \( -a^6 + \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 — \left(a^2\right)^3 = \left(\frac{1}{2} — a^2\right)\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4\right) \)
Шаг 1: Применяем формулу разности кубов:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)
Шаг 2: Подставляем \( a = \frac{1}{2} \) и \( b = a^2 \):
\( \left(\frac{1}{2}\right)^3 — (a^2)^3 = \left(\frac{1}{2} — a^2\right)\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot a^2 + (a^2)^2\right) \)
Шаг 3: Вычисляем каждое слагаемое в скобках:
\( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{2} \cdot a^2 = \frac{1}{2}a^2 \)
\( (a^2)^2 = a^4 \)
Шаг 4: Собираем все слагаемые в скобках:
\( \left(\frac{1}{2} — a^2\right)\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4\right) \)
Ответ: \( \left(\frac{1}{2} — a^2\right)\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4\right) \)
г) \( -\frac{1}{27} — b^6 = -\left(\left(\frac{1}{3}\right)^3 + (b^2)^3\right) = -\left(\frac{1}{3} + b^2\right)\left(\frac{1}{9} — \frac{1}{3}b^2 + b^4\right) \)
Шаг 1: Применяем формулу разности кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Шаг 2: Подставляем \( a = \frac{1}{3} \) и \( b = b^2 \):
\( -\left(\frac{1}{3} + b^2\right)\left(\frac{1}{9} — \frac{1}{3}b^2 + b^4\right) \)
Шаг 3: Собираем выражение:
\( -\left(\frac{1}{3} + b^2\right)\left(\frac{1}{9} — \frac{1}{3}b^2 + b^4\right) = -(3 + b^2)(9 — 3b^2 + b^4) \)
Ответ: \(\left(\frac{1}{3} + b^2\right) \left(\frac{1}{9} — \frac{1}{3}b^2 + b^4\right)\)
д) \( c^6 + 1 = (c^2)^3 + 1^3 = (c^2 + 1)((c^2)^2 — c^2 \cdot 1 + 1^2) \)
Шаг 1: Применяем формулу суммы кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Шаг 2: Подставляем \( a = c^2 \) и \( b = 1 \):
\( (c^2)^3 + 1^3 = (c^2 + 1)((c^2)^2 — c^2 \cdot 1 + 1^2) \)
Шаг 3: Собираем окончательное выражение:
\( (c^2 + 1)(c^4 — c^2 + 1) \)
Ответ: \( (c^2 + 1)(c^4 — c^2 + 1) \)
е) \( x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 = (x^2 + y^2)((x^2)^2 — x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) \)
Шаг 1: Применяем формулу суммы кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Шаг 2: Подставляем \( a = x^2 \) и \( b = y^2 \):
\( (x^2)^3 + (y^2)^3 = (x^2 + y^2)((x^2)^2 — x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) \)
Шаг 3: Собираем окончательное выражение:
\( (x^2 + y^2)(x^4 — x^2y^2 + y^4) \)
Ответ: \( (x^2 + y^2)(x^4 — x^2y^2 + y^4) \)
Алгебра
