Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 923 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:
а) 8x3 − 1;
б) 1 + 27y3;
в) 8 − 1/8a3;
г) 1/64m3 + 1000;
д) 125a3 − 64b3;
е) 1/27x3 + 1/125y3.
a) \( 8x^3 — 1 = (2x)^3 — 1^3 = (2x — 1)((2x)^2 + 1 \cdot 2x + 1^2) =\)
\((2x — 1)(4x^2 + 2x + 1) \);
б) \( 1 + 27y^3 = 1^3 + (3y)^3 = (1 + 3y)(1^2 — 1 \cdot 3y + (3y)^2) =\)
\((1 + 3y)(1 — 3y + 9y^2) \);
в) \( 8 — a^3 = 2^3 — (a)^3 = (2 — a)(2^2 + 2 \cdot 2 \cdot a + (a)^2) =\)
\((2 — a)(4 + 2a + a^2) \);
г) \( m^3 + 1000 = (m)^3 + 10^3 = (m + 10)((m)^2 — 10 \cdot m + 10^2) =\)
\((m + 10)(m^2 — 10m + 100) \);
д) \( 125a^3 — 64b^3 = (5a)^3 — (4b)^3 = (5a — 4b)((5a)^2 + 5a \cdot 4b + (4b)^2) =\)
\((5a — 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2) \);
е) \( x^3 + y^3 = (x)^3 + (y)^3 = (x + y)((x)^2 — x \cdot y + (y)^2) =\)
\((x + y)(x^2 — xy + y^2) \).
а) \( 8x^3 − 1 \)
Представим \( 8x^3 \) как \( (2x)^3 \) и \( 1 \) как \( 1^3 \):
\( 8x^3 − 1 = (2x)^3 − 1^3 \).
Применим формулу разности кубов:
\( (2x)^3 − 1^3 = (2x − 1)((2x)^2 + 2x \cdot 1 + 1^2) \).
Упрощаем:
\( (2x − 1)(4x^2 + 2x + 1) \).
б) \( 1 + 27y^3 \)
Представим \( 27y^3 \) как \( (3y)^3 \) и \( 1 \) как \( 1^3 \):
\( 1 + 27y^3 = 1^3 + (3y)^3 \).
Применим формулу суммы кубов:
\( 1^3 + (3y)^3 = (1 + 3y)(1^2 − 1 \cdot 3y + (3y)^2) \).
Упрощаем:
\( (1 + 3y)(1 − 3y + 9y^2) \).
в) \( 8 − \frac{1}{8}a^3 \)
Представим \( 8 \) как \( 2^3 \) и \( \frac{1}{8}a^3 \) как \( \left(\frac{1}{2}a\right)^3 \):
\( 8 − \frac{1}{8}a^3 = 2^3 − \left(\frac{1}{2}a\right)^3 \).
Применим формулу разности кубов:
\( 2^3 − \left(\frac{1}{2}a\right)^3 = \left(2 − \frac{1}{2}a\right)\left(2^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a + \left(\frac{1}{2}a\right)^2\right) \).
Упрощаем:
\( \left(2 − \frac{1}{2}a\right)\left(4 + a + \frac{1}{4}a^2\right) \).
г) \( \frac{1}{64}m^3 + 1000 \)
Представим \( \frac{1}{64}m^3 \) как \( \left(\frac{1}{4}m\right)^3 \) и \( 1000 \) как \( 10^3 \):
\( \frac{1}{64}m^3 + 1000 = \left(\frac{1}{4}m\right)^3 + 10^3 \).
Применим формулу суммы кубов:
\( \left(\frac{1}{4}m\right)^3 + 10^3 = \left(\frac{1}{4}m + 10\right)\left(\left(\frac{1}{4}m\right)^2 − \frac{1}{4}m \cdot 10 + 10^2\right) \).
Упрощаем:
\( \left(\frac{1}{4}m + 10\right)\left(\frac{1}{16}m^2 − \frac{5}{2}m + 100\right) \).
д) \( 125a^3 − 64b^3 \)
Представим \( 125a^3 \) как \( (5a)^3 \) и \( 64b^3 \) как \( (4b)^3 \):
\( 125a^3 − 64b^3 = (5a)^3 − (4b)^3 \).
Применим формулу разности кубов:
\( (5a)^3 − (4b)^3 = (5a − 4b)((5a)^2 + 5a \cdot 4b + (4b)^2) \).
Упрощаем:
\( (5a − 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2) \).
е) \( \frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3 \)
Представим \( \frac{1}{27}x^3 \) как \( \left(\frac{1}{3}x\right)^3 \) и \( \frac{1}{125}y^3 \) как \( \left(\frac{1}{5}y\right)^3 \):
\( \frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3 = \left(\frac{1}{3}x\right)^3 + \left(\frac{1}{5}y\right)^3 \).
Применим формулу суммы кубов:
\( \left(\frac{1}{3}x\right)^3 + \left(\frac{1}{5}y\right)^3 = \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y\right)\left(\left(\frac{1}{3}x\right)^2 − \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{5}y + \left(\frac{1}{5}y\right)^2\right) \).
Упрощаем:
\( \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y\right)\left(\frac{1}{9}x^2 − \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2\right) \).
Алгебра
