Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 890 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2) Составьте выражение, обозначив через р одного из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через р наименьшее из чисел, а дргому – среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.
Пусть \(x\), \(x + 1\) и \(x + 2\) — три последовательных целых числа.
Составим уравнение:
\[
(x \cdot (x + 1) — (x + 2)) + (x + 1) = (x + 1)^3
\]
\[
(x^2 + x) — (x + 2) + (x + 1) = (x + 1)^3
\]
\[
x^2 + 2x + x + 2x + x + 1 = (x + 1)^3
\]
\[
x^1 + 3x^2 + 3x + 1 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 — верно.
\]
1. Проверка на примере чисел 19, 20, 21:
\[
(19 \cdot 20 \cdot 21) + 20 = 20^3
\]
\[
7980 + 20 = 8000
\]
\[
8000 = 8000.
\]
2. Составление выражения:
\[
[p \cdot 20 \cdot 21) + 20 = 20^3
\]
\[
420p + 20 = 8000
\]
\[
420p = 8000 — 20
\]
\[
p = 7980
\]
\[
p = 7980 : 420
\]
\[
p = 19
\]
3. Проверка преобразования:
\[
(19 \cdot p \cdot 21) + p = 20^3
\]
\[
399p + p = 8000
\]
\[
400p = 8000
\]
\[
p = 8000 : 400
\]
\[
p = 20.
\]
1. Проверка на примере чисел 19, 20, 21
Три последовательных числа: 19, 20, 21.
Среднее число: 20.
Произведение трёх чисел: 19 × 20 × 21 = 7980.
Сумма произведения и среднего: 7980 + 20 = 8000.
Куб среднего числа: 20³ = 8000.
Утверждение верно: 7980 + 20 = 20³.
2. Составление выражения и его преобразование
Случай 1: обозначим через \(p\) наименьшее из чисел
Три последовательных числа: \(p\), \(p + 1\), \(p + 2\).
Среднее число: \(p + 1\).
Произведение трёх чисел: \(p \cdot (p + 1) \cdot (p + 2)\).
Сумма произведения и среднего: \(p \cdot (p + 1) \cdot (p + 2) + (p + 1)\).
Раскрываем скобки:
\(p \cdot (p + 1) \cdot (p + 2) = p^3 + 3p^2 + 2p\).
\(p^3 + 3p^2 + 2p + (p + 1) = p^3 + 3p^2 + 3p + 1.\)
Заметим, что это равно \((p + 1)^3\).
Преобразование подтверждает утверждение.
Случай 2: обозначим через \(p\) среднее из чисел
Три последовательных числа: \(p — 1\), \(p\), \(p + 1\).
Среднее число: \(p\).
Произведение трёх чисел: \((p — 1) \cdot p \cdot (p + 1)\).
Сумма произведения и среднего: \((p — 1) \cdot p \cdot (p + 1) + p\).
Раскрываем скобки:
\((p — 1) \cdot p \cdot (p + 1) = p^3 — p.\)
\(p^3 — p + p = p^3.\)
Заметим, что это равно \(p^3\).
Преобразование подтверждает утверждение.
3. Сравнение сложности преобразований
В первом случае, где \(p\) — наименьшее число, требуется больше раскрытий скобок и упрощений. Однако оба способа приводят к одному и тому же результату.
Второй способ, где \(p\) — среднее число, оказался более простым для вычислений.
Вывод
Сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них действительно равна кубу среднего числа. Это утверждение подтверждено на примере и через алгебраические преобразования.
Алгебра
