ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 890 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2) Составьте выражение, обозначив через р одного из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через р наименьшее из чисел, а дргому – среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

Пусть \(x\), \(x + 1\) и \(x + 2\) — три последовательных целых числа.

Составим уравнение:

\[
(x \cdot (x + 1) — (x + 2)) + (x + 1) = (x + 1)^3
\]

\[
(x^2 + x) — (x + 2) + (x + 1) = (x + 1)^3
\]

\[
x^2 + 2x + x + 2x + x + 1 = (x + 1)^3
\]

\[
x^1 + 3x^2 + 3x + 1 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 — верно.
\]

1. Проверка на примере чисел 19, 20, 21:

\[
(19 \cdot 20 \cdot 21) + 20 = 20^3
\]

\[
7980 + 20 = 8000
\]

\[
8000 = 8000.
\]

2. Составление выражения:

\[
[p \cdot 20 \cdot 21) + 20 = 20^3
\]

\[
420p + 20 = 8000
\]

\[
420p = 8000 — 20
\]

\[
p = 7980
\]

\[
p = 7980 : 420
\]

\[
p = 19
\]

3. Проверка преобразования:

\[
(19 \cdot p \cdot 21) + p = 20^3
\]

\[
399p + p = 8000
\]

\[
400p = 8000
\]

\[
p = 8000 : 400
\]

\[
p = 20.
\]

1. Проверка на примере чисел 19, 20, 21

Три последовательных числа: 19, 20, 21.

Среднее число: 20.

Произведение трёх чисел: 19 × 20 × 21 = 7980.

Сумма произведения и среднего: 7980 + 20 = 8000.

Куб среднего числа: 20³ = 8000.

Утверждение верно: 7980 + 20 = 20³.

2. Составление выражения и его преобразование

Случай 1: обозначим через \(p\) наименьшее из чисел

Три последовательных числа: \(p\), \(p + 1\), \(p + 2\).

Среднее число: \(p + 1\).

Произведение трёх чисел: \(p \cdot (p + 1) \cdot (p + 2)\).

Сумма произведения и среднего: \(p \cdot (p + 1) \cdot (p + 2) + (p + 1)\).

Раскрываем скобки:

\(p \cdot (p + 1) \cdot (p + 2) = p^3 + 3p^2 + 2p\).

\(p^3 + 3p^2 + 2p + (p + 1) = p^3 + 3p^2 + 3p + 1.\)

Заметим, что это равно \((p + 1)^3\).

Преобразование подтверждает утверждение.

Случай 2: обозначим через \(p\) среднее из чисел

Три последовательных числа: \(p — 1\), \(p\), \(p + 1\).

Среднее число: \(p\).

Произведение трёх чисел: \((p — 1) \cdot p \cdot (p + 1)\).

Сумма произведения и среднего: \((p — 1) \cdot p \cdot (p + 1) + p\).

Раскрываем скобки:

\((p — 1) \cdot p \cdot (p + 1) = p^3 — p.\)

\(p^3 — p + p = p^3.\)

Заметим, что это равно \(p^3\).

Преобразование подтверждает утверждение.

3. Сравнение сложности преобразований

В первом случае, где \(p\) — наименьшее число, требуется больше раскрытий скобок и упрощений. Однако оба способа приводят к одному и тому же результату.

Второй способ, где \(p\) — среднее число, оказался более простым для вычислений.

Вывод

Сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них действительно равна кубу среднего числа. Это утверждение подтверждено на примере и через алгебраические преобразования.