Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 864 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:
а) x2 + 2x + 2;
б) 4y2 − 4y + 6;
в) a2 + b2 − 2ab + 1;
г) 9x2 + 4 − 6xy + 4y2.
a) \(x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)^2 + 1.\)
Так как \((x + 1)^2 \geq 0\), а \(1\) — положительное число, то и при любом значении \(x\) многочлен принимает положительные значения.
б) \(4y^2 — 4y + 6 = 4y^2 — 4y + 1 + 5 = (2y — 1)^2 + 5.\)
Так как \((2y — 1)^2 \geq 0\), а \(5\) — положительное число, то и при любом значении \(y\) многочлен принимает положительные значения.
в) \(a^2 + b^2 — 2ab + 1 = a^2 — 2ab + b^2 + 1 = (a — b)^2 + 1.\)
Так как \((a — b)^2 \geq 0\), а \(1\) — положительное число, то и при любом значении \(a\) и \(b\) многочлен принимает положительные значения.
г) \(9x^2 + 4 — 6xy + 4y^2\) — опечатка
\(9x^2 + 4 — 12xy + 4y^2 = 9x^2 — 12xy + 4y^2 + 4 = (3x — 2y)^2 + 4.\)
Так как \((3x — 2y)^2 \geq 0\), а \(4\) — положительное число, то и при любом значении \(x\) и \(y\) многочлен принимает положительные значения.
а)
Рассмотрим многочлен:
x² + 2x + 2
Разложение на полный квадрат:
x² + 2x + 2 = x² + 2x + 1 + 1
Теперь выражение можно записать как:
x² + 2x + 1 = (x + 1)²
Таким образом:
x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1
Анализ знака:
(x + 1)² ≥ 0, а 1 — положительное число.
При любом значении x многочлен принимает положительные значения.
б)
Рассмотрим многочлен:
4y² — 4y + 6
Разложение на полный квадрат:
4y² — 4y + 6 = 4y² — 4y + 1 + 5
Теперь выражение можно записать как:
4y² — 4y + 1 = (2y — 1)²
Таким образом:
4y² — 4y + 6 = (2y — 1)² + 5
Анализ знака:
(2y — 1)² ≥ 0, а 5 — положительное число.
При любом значении y многочлен принимает положительные значения.
в)
Рассмотрим многочлен:
a² + b² — 2ab + 1
Разложение на полный квадрат:
a² + b² — 2ab + 1 = (a² — 2ab + b²) + 1
Теперь выражение можно записать как:
a² — 2ab + b² = (a — b)²
Таким образом:
a² + b² — 2ab + 1 = (a — b)² + 1
Анализ знака:
(a — b)² ≥ 0, а 1 — положительное число.
При любом значении a и b многочлен принимает положительные значения.
г)
Рассмотрим многочлен:
9x² + 4 — 12xy + 4y²
Разложение на полный квадрат:
9x² + 4 — 12xy + 4y² = (9x² — 12xy + 4y²) + 4
Теперь выражение можно записать как:
9x² — 12xy + 4y² = (3x — 2y)²
Таким образом:
9x² + 4 — 12xy + 4y² = (3x — 2y)² + 4
Анализ знака:
(3x — 2y)² ≥ 0, а 4 — положительное число.
При любом значении x и y многочлен принимает положительные значения.
Итог:
Все четыре многочлена принимают положительные значения при любых значениях переменных.
Алгебра
