Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 863 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом значении х многочлен х2 + 6х + 10 принимает положительные значения.
x² + 6x + 10 = x² + 6x + 9 + 1 = x² + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 3² + 1 = (x + 3)² + 1.**
Так как (x + 3)² ≥ 0, а 1 — положительное число, то и при любом значении x многочлен принимает положительные значения.
Исходное выражение:
x² + 6x + 10
Шаг 1: Преобразование выражения
Выражение x² + 6x + 10 можно представить в виде полного квадрата. Для этого выделим квадрат суммы двух членов.
Формула полного квадрата:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Шаг 2: Выделение полного квадрата
В выражении x² + 6x + 10 первые два члена x² + 6x напоминают часть формулы полного квадрата.
Рассмотрим первые два члена: x² + 6x. Здесь:
- 2ab = 6x, значит b = 3, так как 2 ⋅ x ⋅ 3 = 6x.
- b² = 3² = 9.
Добавим и вычтем 9 в исходном выражении, чтобы выделить полный квадрат:
x² + 6x + 10 = x² + 6x + 9 + 1
Шаг 3: Представление выражения как полного квадрата
Теперь первые три члена x² + 6x + 9 можно записать как квадрат суммы:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Подставим это обратно в выражение:
x² + 6x + 10 = (x + 3)² + 1
Шаг 4: Анализ знака выражения
Теперь выражение записано в виде:
(x + 3)² + 1
Квадрат любого числа (x + 3)² всегда больше или равен нулю:
(x + 3)² ≥ 0
К этому квадрату добавляется положительное число 1, поэтому всё выражение всегда положительно:
(x + 3)² + 1 > 0
Шаг 5: Вывод
При любом значении x выражение x² + 6x + 10 принимает положительные значения.
Итоговое преобразование:
x² + 6x + 10 = (x + 3)² + 1
Ответ:
Многочлен x² + 6x + 10 всегда положителен при любых значениях x.
Алгебра
