Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 860 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Представьте выражение в виде квадрата двучлена, если это возможно:
a) \( \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 \);
b) \( 25a^2 — 30ab + 9b^2 \);
c) \( p^2 — 2p + 4 \);
d) \( \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 \);
e) \( 100b^2 + 9c^2 — 60bc \);
f) \( 49x^2 + 12xy + 64y^2 \).
a) \( \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 = \left(\frac{1}{2}x\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 3 + 3^2 = \left(\frac{1}{2}x + 3\right)^2 \);
б) \( 25a^2 — 30ab + 9b^2 = (5a)^2 — 2 \cdot 5a \cdot 3b + (3b)^2 = (5a — 3b)^2 \);
в) \( p^2 — 2p + 4 \) — нельзя;
г) \( \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 = \left(\frac{1}{3}x\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{5}y + \left(\frac{1}{5}y\right)^2 = \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y\right)^2 \);
д) \( 100b^2 + 9c^2 — 60bc = 100b^2 — 60bc + 9c^2 = (10b)^2 — 2 \cdot 10b \cdot 3c + (3c)^2 = (10b — 3c)^2 \);
е) \( 49x^2 + 12xy + 64y^2 \) — нельзя.
а) \( \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 \)
Выражение:
\( \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 \).
Шаг 1: Общая форма квадрата двучлена:
\( (px + q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^2 \).
Шаг 2: Сравнение коэффициентов:
- \( p^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow p = \frac{1}{2} \).
- \( 2pq = 3 \Rightarrow q = 3 \).
- \( q^2 = 9 \Rightarrow q = 3 \).
Шаг 3: Проверка:
\( (px + q)^2 = \left(\frac{1}{2}x + 3\right)^2 \).
Раскрытие квадрата:
\( \left(\frac{1}{2}x + 3\right)^2 = \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 \).
Ответ: \( \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 = \left(\frac{1}{2}x + 3\right)^2 \).
б) \( 25a^2 — 30ab + 9b^2 \)
Выражение:
\( 25a^2 — 30ab + 9b^2 \).
Шаг 1: Общая форма квадрата двучлена:
\( (pa + qb)^2 = p^2a^2 + 2pqab + q^2b^2 \).
Шаг 2: Сравнение коэффициентов:
- \( p^2 = 25 \Rightarrow p = 5 \).
- \( 2pq = -30 \Rightarrow q = -3 \).
- \( q^2 = 9 \Rightarrow q = -3 \).
Шаг 3: Проверка:
\( (pa + qb)^2 = \left(5a — 3b\right)^2 \).
Раскрытие квадрата:
\( \left(5a — 3b\right)^2 = 25a^2 — 30ab + 9b^2 \).
Ответ: \( 25a^2 — 30ab + 9b^2 = \left(5a — 3b\right)^2 \).
в) \( p^2 — 2p + 4 \)
Выражение:
\( p^2 — 2p + 4 \).
Шаг 1: Общая форма квадрата двучлена:
\( (kp + m)^2 = k^2p^2 + 2kmp + m^2 \).
Шаг 2: Сравнение коэффициентов:
- \( k^2 = 1 \Rightarrow k = 1 \).
- \( 2km = -2 \Rightarrow m = -1 \).
- \( m^2 = 4 \Rightarrow m = \pm 2 \).
Шаг 3: Проверка невозможности:
Невозможно удовлетворить все коэффициенты одновременно.
Ответ: Представить выражение в виде квадрата двучлена нельзя.
г) \( \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 \)
Выражение:
\( \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 \).
Шаг 1: Общая форма квадрата двучлена:
\( (px + qy)^2 = p^2x^2 + 2pqxy + q^2y^2 \).
Шаг 2: Сравнение коэффициентов:
- \( p^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow p = \frac{1}{3} \).
- \( 2pq = \frac{2}{15} \Rightarrow q = \frac{1}{5} \).
- \( q^2 = \frac{1}{25} \Rightarrow q = \frac{1}{5} \).
Шаг 3: Проверка:
\( (px + qy)^2 = \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y\right)^2 \).
Раскрытие квадрата:
\( \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y\right)^2 = \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 \).
Ответ: \( \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 = \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y\right)^2 \).
д) \( 100b^2 + 9c^2 — 60bc \)
Выражение:
\( 100b^2 + 9c^2 — 60bc \).
Шаг 1: Общая форма квадрата двучлена:
\( (pb + qc)^2 = p^2b^2 + 2pqbc + q^2c^2 \).
Шаг 2: Сравнение коэффициентов:
- \( p^2 = 100 \Rightarrow p = 10 \).
- \( 2pq = -60 \Rightarrow q = -3 \).
- \( q^2 = 9 \Rightarrow q = -3 \).
Шаг 3: Проверка:
\( (pb + qc)^2 = \left(10b — 3c\right)^2 \).
Раскрытие квадрата:
\( \left(10b — 3c\right)^2 = 100b^2 — 60bc + 9c^2 \).
Ответ: \( 100b^2 + 9c^2 — 60bc = \left(10b — 3c\right)^2 \).
е) \( 49x^2 + 12xy + 64y^2 \)
Выражение:
\( 49x^2 + 12xy + 64y^2 \).
Шаг 1: Общая форма квадрата двучлена:
\( (px + qy)^2 = p^2x^2 + 2pqxy + q^2y^2 \).
Шаг 2: Сравнение коэффициентов:
- \( p^2 = 49 \Rightarrow p = 7 \).
- \( q^2 = 64 \Rightarrow q = 8 \).
- \( 2pq = 12 \Rightarrow не совпадает \).
Ответ: Представить выражение в виде квадрата двучлена нельзя.
Алгебра
