Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 858 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Сравните с нулём значение выражения;
а) х2 − 30х + 225;
б) −х2 + 2ху − у2.
а) \( x^2 — 30x + 225 \geq 0 \), так как \( x^2 — 30x + 225 = (x — 15)^2 \), и если \( x = 15 \), то \( (15 — 15)^2 = 0 \).
б) \( -x^2 + 2xy — y^2 \leq 0 \), так как \( -x^2 + 2xy — y^2 = — (x^2 — 2xy + y^2) = — (x — y)^2 \).
Задача а) x² - 30x + 225 ≥ 0
Шаг 1: Анализ выражения
Дано неравенство:
x² - 30x + 225 ≥ 0
Преобразуем выражение в полный квадрат:
x² - 30x + 225 = (x - 15)²
Шаг 2: Свойства квадрата
Квадрат любого числа всегда больше либо равен нулю:
(x - 15)² ≥ 0
Шаг 3: Условие равенства нулю
Рассмотрим случай, когда выражение равно нулю:
(x - 15)² = 0
Решаем уравнение:
x - 15 = 0
x = 15
Шаг 4: Вывод
Неравенство x² - 30x + 225 ≥ 0 выполняется для всех x ∈ ℝ, так как квадрат любого числа неотрицателен. Равенство достигается только при x = 15.
Задача б) -x² + 2xy - y² ≤ 0
Шаг 1: Анализ выражения
Дано неравенство:
-x² + 2xy - y² ≤ 0
Преобразуем выражение:
-x² + 2xy - y² = -(x² - 2xy + y²)
Внутри скобок видим формулу квадрата разности:
x² - 2xy + y² = (x - y)²
Подставляем:
-x² + 2xy - y² = -(x - y)²
Шаг 2: Свойства квадрата
Квадрат любого числа всегда больше либо равен нулю:
(x - y)² ≥ 0
Так как квадрат умножается на отрицательное число (-1), то:
-(x - y)² ≤ 0
Шаг 3: Условие равенства нулю
Рассмотрим случай, когда выражение равно нулю:
-(x - y)² = 0
Решаем уравнение:
(x - y)² = 0
x - y = 0
x = y
Шаг 4: Вывод
Неравенство -x² + 2xy - y² ≤ 0 выполняется для всех x, y ∈ ℝ, так как квадрат любого числа неотрицателен, а его отрицательная версия всегда меньше либо равна нулю. Равенство достигается только при x = y.
Алгебра
