ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 823 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) (a − b)² = (b − a)²;
б) (−a − b)² = (a + b)².

a) \((a — b)^2 = (b — a)^2\)
\(a^2 — 2 \cdot a \cdot b + b^2 = b^2 — 2 \cdot a \cdot b + a^2\)
\(a^2 — 2ab + b^2 = b^2 — 2ab + a^2\);

б) \((-a — b)^2 = (a + b)^2\)
\((-(a + b))^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2\);
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\(a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\(a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

1. Доказательство первого тождества: (a — b)² = (b — a)²

• Шаг 1: Запишем левую часть выражения(a — b)² = (a — b) ⋅ (a — b).
• Шаг 2: Раскроем скобки(a — b)² = a² — 2ab + b².
• Шаг 3: Запишем правую часть выражения(b — a)² = (b — a) ⋅ (b — a).
• Шаг 4: Раскроем скобки(b — a)² = b² — 2ba + a².
• Шаг 5: Сравним результатыЛевая часть: a² — 2ab + b².

  Правая часть: b² — 2ab + a².

  Порядок слагаемых не влияет на значение выражения. Таким образом:

  a² — 2ab + b² = b² — 2ab + a².

Вывод: (a — b)² = (b — a)².

2. Доказательство второго тождества: (-a — b)² = (a + b)²

• Шаг 1: Запишем левую часть выражения(-a — b)² = (-a — b) ⋅ (-a — b).
• Шаг 2: Раскроем скобки(-a — b)² = (-a)² + 2(-a)(-b) + (-b)².

  Вычислим каждое слагаемое:

  • (-a)² = a²
  • 2(-a)(-b) = 2ab
  • (-b)² = b²

  Итак:

  (-a — b)² = a² + 2ab + b².

• Шаг 3: Запишем правую часть выражения(a + b)² = (a + b) ⋅ (a + b).
• Шаг 4: Раскроем скобки(a + b)² = a² + 2ab + b².
• Шаг 5: Сравним результатыЛевая часть: a² + 2ab + b².

  Правая часть: a² + 2ab + b².

  Они идентичны.

Вывод: (-a — b)² = (a + b)².

Итог

Оба тождества доказаны:

1. (a — b)² = (b — a)²
2. (-a — b)² = (a + b)²