Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 817 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
С помощью рисунка 86 разъясните геометрический смысл формулы (а − b)2 = a2 − 2ab + b2 для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.
\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2, a > b.\)
Площадь большого квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2\).
Площадь синего квадрата со стороной \(b\) равна \(b^2\).
Площадь прямоугольника со сторонами \((a — b)\) и \(b\) равна \(b(a — b) = ab — b^2\).
Значит, чтобы найти площадь серого квадрата, нужно из большого квадрата вычесть 2 прямоугольника и синий квадрат:
\[a^2 — 2(ab — b^2) — b^2 = a^2 — 2ab + 2b^2 — b^2 = a^2 — 2ab + b^2.\]
Также площадь серого квадрата можно найти при помощи стороны \((a — b): (a — b)^2.\)
Таким образом, \((a — b)^2 = a^2 — 2 \cdot a \cdot b + b^2 = a^2 — 2ab + b^2.\)
1. Построение фигур
- Большой квадрат:У нас есть квадрат со стороной
a. Его площадь равна:Площадь большого квадрата = a2 - Синий квадрат:Внутри большого квадрата есть меньший квадрат со стороной
b. Его площадь равна:Площадь синего квадрата = b2 - Прямоугольники:Оставшаяся часть большого квадрата, кроме синего квадрата, состоит из двух одинаковых прямоугольников.Каждый прямоугольник имеет стороны
(a - b)иb. Площадь одного прямоугольника:Площадь одного прямоугольника = b(a - b) = ab - b2Площадь двух прямоугольников:
Площадь двух прямоугольников = 2 * (ab - b2) = 2ab - 2b2
2. Вычисление площади серого квадрата
Серый квадрат — это часть большого квадрата, оставшаяся после вычитания площади синего квадрата и двух прямоугольников.
- Площадь большого квадрата:
a2 - Вычитаем площадь двух прямоугольников:
a2 - (2ab - 2b2) - Вычитаем площадь синего квадрата:
a2 - (2ab - 2b2) - b2 - Упрощаем выражение:
a2 - 2ab + 2b2 - b2 = a2 - 2ab + b2
Таким образом, площадь серого квадрата равна a2 - 2ab + b2.
3. Альтернативное вычисление площади серого квадрата
Серый квадрат имеет сторону (a - b). Его площадь можно найти напрямую:
Площадь серого квадрата = (a - b)2
Раскрываем квадрат разности:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Получаем то же самое выражение.
4. Итог
Мы доказали двумя способами, что:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Алгебра
