ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 807 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Разложите на многочлен:

а) а³ − 2а² + 2а − 4;
б) х³ − 12 + 6х² − 2х;
в) с⁴ − 2с² + с³ − 2с;
г) −у⁶ − у⁵ + у⁴ + у³;
д) a²b − b²c + a²c − bc²;
е) 2х³ + ху² − 2х²у − у³;
ж) 16ab² − 10c³ + 32ac² − 5b²c;
з) 6а³ − 21a²b + 2ab² − 7b³.

а) а³ − 2а² + 2а − 4 = (а³ − 2а²) + (2а − 4) = а² (а − 2) + 2(а − 2) = (а² + 2)(а − 2);

б) х³ − 12 + 6х² − 2х = (х³ − 2х) + (−12 + 6х²) = х(х² − 2) + 6(х² − 2) = (х² − 2)(х + 6);

в) с⁴ − 2с² + с³ − 2с = (с⁴ − 2с³) + (с³ − 2с) = с² (с² − 2) + с(с² − 2) = (с² − 2)(с² + с) = с(с + 1) (с² − 2);

г) −у⁶ − у⁵ + у⁴ + у³ = (−у⁶ − у⁵) + (у⁴ + у³) = −у⁵ (у + 1) + у³ (у + 1) = (у + 1)(у³ − у⁵) = у³ (1 − у²)(у + 1);

д) a²b − b²c + a²c − bc² = (a²b − b²c) + (a²c − bc²) = b(a² − bc) + c(a² − bc) = (b + c)( a² − bc);

е) 2х³ + ху² − 2х²у − у³ = (2х³ + ху²) + (−2х²у − у³) = х(2х² + у²) − у(2х² + у²) = (х − у)(2х² + у²);

ж) 16ab² − 10c³ + 32ac² − 5b²c = (16ab² + 32ac²) + (−10c³ − 5b²c) = 16a(b² + 2c²) − 5c(2c² + b²) = (16a − 5c)(2c² + b²);

з) 6а³ − 21a²b + 2ab² − 7b³ = (6а³ − 21a²b) + (2ab² − 7b³) = 3a² (2a − 7b) + b² (2a − b) = (3a² + b²)(2a − 7b).

а) \( a^3 — 2a^2 + 2a — 4 \)

Решение:

• Группируем: \( a^3 — 2a^2 + 2a — 4 = (a^3 — 2a^2) + (2a — 4) \).
• Выносим \( a^2 \): \( a^3 — 2a^2 = a^2(a — 2) \).
• Выносим \( 2 \): \( 2a — 4 = 2(a — 2) \).
• Объединяем: \( a^3 — 2a^2 + 2a — 4 = a^2(a — 2) + 2(a — 2) \).
• Выносим общий множитель \( (a — 2) \): \( (a^2 + 2)(a — 2) \).

Ответ: \( (a^2 + 2)(a — 2) \).

б) \( x^3 — 12 + 6x^2 — 2x \)

Решение:

• Группируем: \( x^3 — 12 + 6x^2 — 2x = (x^3 — 2x) + (6x^2 — 12) \).
• Выносим \( x \): \( x^3 — 2x = x(x^2 — 2) \).
• Выносим \( 6 \): \( 6x^2 — 12 = 6(x^2 — 2) \).
• Объединяем: \( x^3 — 12 + 6x^2 — 2x = x(x^2 — 2) + 6(x^2 — 2) \).
• Выносим общий множитель \( (x^2 — 2) \): \( (x + 6)(x^2 — 2) \).

Ответ: \( (x + 6)(x^2 — 2) \).

в) \( c^4 — 2c^2 + c^3 — 2c \)

Решение:

• Группируем: \( c^4 — 2c^2 + c^3 — 2c = (c^4 — 2c^3) + (c^3 — 2c) \).
• Выносим \( c^3 \): \( c^4 — 2c^3 = c^3(c — 2) \).
• Выносим \( c \): \( c^3 — 2c = c(c^2 — 2) \).
• Объединяем: \( c^4 — 2c^2 + c^3 — 2c = c^3(c — 2) + c(c — 2) \).
• Выносим общий множитель \( (c — 2) \): \( (c^3 + c)(c — 2) \).

Ответ: \( (c^3 + c)(c — 2) \).

г) \( -y^6 — y^5 + y^4 + y^3 \)

Решение:

• Группируем: \( -y^6 — y^5 + y^4 + y^3 = (-y^6 — y^5) + (y^4 + y^3) \).
• Выносим \( -y^5 \): \( -y^6 — y^5 = -y^5(y + 1) \).
• Выносим \( y^3 \): \( y^4 + y^3 = y^3(y + 1) \).
• Объединяем: \( -y^6 — y^5 + y^4 + y^3 = -y^5(y + 1) + y^3(y + 1) \).
• Выносим общий множитель \( (y + 1) \): \( (y^3 — y^5)(y + 1) \).
• Упрощаем: \( y^3 — y^5 = y^3(1 — y^2) \).

Ответ: \( y^3(1 — y^2)(y + 1) \).

д) \( a^2b — b^2c + a^2c — bc^2 \)

Решение:

• Группируем: \( a^2b — b^2c + a^2c — bc^2 = (a^2b + a^2c) + (-b^2c — bc^2) \).
• Выносим \( a^2 \): \( a^2b + a^2c = a^2(b + c) \).
• Выносим \( -bc \): \( -b^2c — bc^2 = -bc(b + c) \).
• Объединяем: \( a^2b — b^2c + a^2c — bc^2 = a^2(b + c) — bc(b + c) \).
• Выносим общий множитель \( (b + c) \): \( (a^2 — bc)(b + c) \).

Ответ: \( (a^2 — bc)(b + c) \).

е) \( 2x^3 + xy^2 — 2x^2y — y^3 \)

Решение:

• Группируем: \( 2x^3 + xy^2 — 2x^2y — y^3 = (2x^3 + xy^2) + (-2x^2y — y^3) \).
• Выносим \( x \): \( 2x^3 + xy^2 = x(2x^2 + y^2) \).
• Выносим \( -y \): \( -2x^2y — y^3 = -y(2x^2 + y^2) \).
• Объединяем: \( 2x^3 + xy^2 — 2x^2y — y^3 = x(2x^2 + y^2) — y(2x^2 + y^2) \).
• Выносим общий множитель \( (2x^2 + y^2) \): \( (x — y)(2x^2 + y^2) \).

Ответ: \( (x — y)(2x^2 + y^2) \).

ж) \( 16ab^2 — 10c^3 + 32ac^2 — 5b^2c \)

Решение:

• Группируем: \( 16ab^2 — 10c^3 + 32ac^2 — 5b^2c = (16ab^2 + 32ac^2) + (-10c^3 — 5b^2c) \).
• Выносим \( 16a \): \( 16ab^2 + 32ac^2 = 16a(b^2 + 2c^2) \).
• Выносим \( -5c \): \( -10c^3 — 5b^2c = -5c(2c^2 + b^2) \).
• Объединяем: \( 16ab^2 — 10c^3 + 32ac^2 — 5b^2c = 16a(b^2 + 2c^2) — 5c(b^2 + 2c^2) \).
• Выносим общий множитель \( (b^2 + 2c^2) \): \( (16a — 5c)(b^2 + 2c^2) \).

Ответ: \( (16a — 5c)(b^2 + 2c^2) \).

з) \( 6a^3 — 21a^2b + 2ab^2 — 7b^3 \)

Решение:

• Группируем: \( 6a^3 — 21a^2b + 2ab^2 — 7b^3 = (6a^3 — 21a^2b) + (2ab^2 — 7b^3) \).
• Выносим \( 3a^2 \): \( 6a^3 — 21a^2b = 3a^2(2a — 7b) \).
• Выносим \( b^2 \): \( 2ab^2 — 7b^3 = b^2(2a — 7b) \).
• Объединяем: \( 6a^3 — 21a^2b + 2ab^2 — 7b^3 = 3a^2(2a — 7b) + b^2(2a — 7b) \).
• Выносим общий множитель \( (2a — 7b) \): \( (3a^2 + b^2)(2a — 7b) \).

Ответ: \( (3a^2 + b^2)(2a — 7b) \).