Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 805 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см2. Найдите площадь первоначального прямоугольника.
Решение задачи
Условие задачи
Длина прямоугольника — ? см
Ширина прямоугольника — ? см
Длина стала — ? см, на 3 см
Ширина стала — ? см, на 5 см
Периметр — 30 см
Площадь — ? см²
Стала площадь — ? см², на 8 см² меньше
Решение
Пусть x см — длина прямоугольника.
Ширина прямоугольника: (30 : 2 — x) = (15 — x) см.
Длина после изменения: (x — 3) см.
Ширина после изменения: (15 — x + 5) = (20 — x) см.
Составим и решим уравнение:
x(15 — x) = (20 — x)(x — 3) + 8
Раскроем скобки:
15x — x² = 20x — 60 — x² + 3x + 8
15x — x² — 20x + x² — 3x = -60 + 8
-8x = -52
Найдём x:
x = -52 : (-8) = 6,5 см — длина прямоугольника.
Ширина прямоугольника:
15 — 6,5 = 8,5 см.
Площадь прямоугольника:
6,5 ⋅ 8,5 = 55,25 см².
Ответ
Площадь прямоугольника: 55,25 см².
Шаг 1. Введение переменных
Пусть:
a – длина прямоугольника (в см).
b – ширина прямоугольника (в см).
Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:
P = 2 ⋅ (a + b)
Согласно условию задачи:
P = 30
Подставляем:
2 ⋅ (a + b) = 30
Упростим:
a + b = 15
Таким образом, ширина выражается через длину:
b = 15 — a
Шаг 2. Уравнение для площади
Площадь первоначального прямоугольника:
Sдо = a ⋅ b
После изменения:
— Длина уменьшилась на 3 см: новая длина = (a — 3).
— Ширина увеличилась на 5 см: новая ширина = (b + 5 = 15 — a + 5 = 20 — a).
Новая площадь:
Sпосле = (a — 3) ⋅ (20 — a)
Согласно условию задачи, площадь уменьшилась на 8 см²:
Sпосле = Sдо — 8
Подставляем выражения для площадей:
(a — 3) ⋅ (20 — a) = a ⋅ b — 8
Шаг 3. Подстановка b = 15 — a
Подставим b = 15 — a в формулу Sдо = a ⋅ b:
Sдо = a ⋅ (15 — a)
Теперь уравнение принимает вид:
(a — 3) ⋅ (20 — a) = a ⋅ (15 — a) — 8
Шаг 4. Раскрытие скобок
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Левая часть:
(a — 3) ⋅ (20 — a) = a ⋅ 20 — a² — 3 ⋅ 20 + 3 ⋅ a
= 20a — a² — 60 + 3a = 23a — a² — 60
Правая часть:
a ⋅ (15 — a) — 8 = 15a — a² — 8
Теперь уравнение выглядит так:
23a — a² — 60 = 15a — a² — 8
Шаг 5. Приведение подобного
Сократим a² в обеих частях:
23a — 60 = 15a — 8
Переносим 15a и -60 в одну сторону:
23a — 15a = 60 — 8
8a = 52
Найдем a:
a = 52 / 8 = 6.5
Шаг 6. Вычисление ширины
Ширина прямоугольника:
b = 15 — a = 15 — 6.5 = 8.5 см.
Шаг 7. Вычисление площади
Площадь первоначального прямоугольника:
Sдо = a ⋅ b = 6.5 ⋅ 8.5 = 55.25 см².
Проверка
Новая длина:
a — 3 = 6.5 — 3 = 3.5 см.
Новая ширина:
b + 5 = 8.5 + 5 = 13.5 см.
Новая площадь:
Sпосле = (a — 3) ⋅ (b + 5) = 3.5 ⋅ 13.5 = 47.25 см².
Разница площадей:
Sдо — Sпосле = 55.25 — 47.25 = 8 см².
Условие выполнено.
Ответ
Площадь первоначального прямоугольника:
55.25 см².
Алгебра
