Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 792 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что:
а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;
б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.
a)
\( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 2^x (1 + 2 + 2^2) = 2^x (1 + 2 + 4) = 2^x \cdot 7 = 2^{x-1} \cdot 2 \cdot 7 = 2^{x-1} \cdot 14. \)
Так как множитель \( 14 \) делится на \( 14 \), то и значение выражения делится на \( 14 \).
б)
\( 5^x + 5^{x+1} = 5^x (1 + 5) = 5^x \cdot 6 = 5^{x-1} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{x-1} \cdot 30. \)
Так как множитель \( 30 \) делится на \( 30 \), то и значение выражения делится на \( 30 \).
Часть (а)
Докажем, что сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 14.
Пусть три последовательные степени числа 2 — это 2^n, 2^{n+1}, 2^{n+2}. Тогда их сумма:
S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}.
Шаг 1. Вынесем 2^n за скобки:
S = 2^n · (1 + 2 + 4).
Шаг 2. Посчитаем сумму в скобках:
1 + 2 + 4 = 7.
Тогда:
S = 2^n · 7.
Шаг 3. Проверим делимость на 14:
Число 2^n · 7 делится на 14, так как:
- 2^n делится на 2 (поскольку 2^n — степень двойки),
- 7 делится само на себя.
Следовательно, произведение 2^n · 7 делится на 2 · 7 = 14.
Вывод для части (а):
Сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 14.
Часть (б)
Докажем, что сумма двух последовательных степеней числа 5 делится на 30.
Пусть две последовательные степени числа 5 — это 5^n и 5^{n+1}. Тогда их сумма:
S = 5^n + 5^{n+1}.
Шаг 1. Вынесем 5^n за скобки:
S = 5^n · (1 + 5).
Шаг 2. Посчитаем сумму в скобках:
1 + 5 = 6.
Тогда:
S = 5^n · 6.
Шаг 3. Проверим делимость на 30:
Число 5^n · 6 делится на 30, так как:
- 5^n делится на 5 (поскольку 5^n — степень пятёрки),
- 6 делится на 2 и 3.
Так как 30 = 2 · 3 · 5, произведение 5^n · 6 делится на 30.
Вывод для части (б):
Сумма двух последовательных степеней числа 5 делится на 30.
Итог
- Сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 14.
- Сумма двух последовательных степеней числа 5 делится на 30.
Алгебра
