ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 792 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;
б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.

a)
\( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 2^x (1 + 2 + 2^2) = 2^x (1 + 2 + 4) =\)

\(2^x \cdot 7 = 2^{x-1} \cdot 2 \cdot 7 = 2^{x-1} \cdot 14. \)
Так как множитель \( 14 \) делится на \( 14 \), то и значение выражения делится на \( 14 \).

б)
\( 5^x + 5^{x+1} = 5^x (1 + 5) = 5^x \cdot 6 = 5^{x-1} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{x-1} \cdot 30. \)
Так как множитель \( 30 \) делится на \( 30 \), то и значение выражения делится на \( 30 \).

Часть (а)

Докажем, что сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 14.

Пусть три последовательные степени числа 2 — это 2^n, 2^{n+1}, 2^{n+2}. Тогда их сумма:

S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}.

Шаг 1. Вынесем 2^n за скобки:

S = 2^n · (1 + 2 + 4).

Шаг 2. Посчитаем сумму в скобках:

1 + 2 + 4 = 7.

Тогда:

S = 2^n · 7.

Шаг 3. Проверим делимость на 14:

Число 2^n · 7 делится на 14, так как:

• 2^n делится на 2 (поскольку 2^n — степень двойки),
• 7 делится само на себя.

Следовательно, произведение 2^n · 7 делится на 2 · 7 = 14.

Вывод для части (а):

Сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 14.

Часть (б)

Докажем, что сумма двух последовательных степеней числа 5 делится на 30.

Пусть две последовательные степени числа 5 — это 5^n и 5^{n+1}. Тогда их сумма:

S = 5^n + 5^{n+1}.

Шаг 1. Вынесем 5^n за скобки:

S = 5^n · (1 + 5).

Шаг 2. Посчитаем сумму в скобках:

1 + 5 = 6.

Тогда:

S = 5^n · 6.

Шаг 3. Проверим делимость на 30:

Число 5^n · 6 делится на 30, так как:

• 5^n делится на 5 (поскольку 5^n — степень пятёрки),
• 6 делится на 2 и 3.

Так как 30 = 2 · 3 · 5, произведение 5^n · 6 делится на 30.

Вывод для части (б):

Сумма двух последовательных степеней числа 5 делится на 30.

Итог

1. Сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 14.
2. Сумма двух последовательных степеней числа 5 делится на 30.