ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 790 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.

a² + a = a(a + 1).
Так как a(a + 1) — два последовательных числа, то:
если a — чётное число, то (a + 1) — нечётное.
Произведение чётного и нечётного чисел будет чётным числом.

Если a — нечётное число, то (a + 1) — чётное.
Произведение нечётного и чётного чисел будет чётным числом.

1. Исходное выражение:

Пусть a — произвольное целое число. Требуется доказать, что сумма числа a и его квадрата a² является чётным числом. Рассмотрим выражение:$a\; +\; a²$

2. Вынесем общий множитель:

Заметим, что в выражении a + a² содержится общий множитель a. Вынесем его за скобки:$a\; +\; a²\; =\; a(1\; +\; a)$

Теперь наше выражение представлено в виде произведения двух множителей: a и (1 + a).

3. Анализ выражения a(1 + a):

3.1. Свойство последовательных чисел:

Числа a и (a + 1) являются двумя последовательными целыми числами.

• Одно из этих чисел обязательно чётное.
• Произведение чётного числа на любое другое число всегда чётное.

3.2. Разбор случаев:

Рассмотрим два возможных варианта для a:

1. a — чётное число:Если a чётное, то a = 2k, где k — целое число.

   Тогда:

   $a(1\; +\; a)\; =\; 2k(1\; +\; 2k)\; =\; 2k(2k\; +\; 1)$Произведение 2k(2k + 1) делится на 2, так как содержит множитель 2. Следовательно, выражение чётное.

2. a — нечётное число:Если a нечётное, то a = 2k + 1, где k — целое число.

   Тогда:

   $a(1\; +\; a)\; =\; (2k\; +\; 1)((2k\; +\; 1)\; +\; 1)\; =\; (2k\; +\; 1)(2k\; +\; 2)$Заметим, что 2k + 2 — чётное число, так как 2k + 2 = 2(k + 1).

   Произведение нечётного числа (2k + 1) на чётное (2k + 2) всегда чётное.

4. Проверка на примерах:

• Пример 1: a = 2 (чётное число)$a\; +\; a²\; =\; 2\; +\; 2²\; =\; 2\; +\; 4\; =\; 6$Число 6 делится на 2, значит, оно чётное.
• Пример 2: a = 3 (нечётное число)$a\; +\; a²\; =\; 3\; +\; 3²\; =\; 3\; +\; 9\; =\; 12$Число 12 делится на 2, значит, оно чётное.
• Пример 3: a = -1 (нечётное отрицательное число)$a\; +\; a²\; =\; -1\; +\; (-1)²\; =\; -1\; +\; 1\; =\; 0$Число 0 делится на 2, значит, оно чётное.
• Пример 4: a = -4 (чётное отрицательное число)$a\; +\; a²\; =\; -4\; +\; (-4)²\; =\; -4\; +\; 16\; =\; 12$Число 12 делится на 2, значит, оно чётное.

5. Вывод:

Мы доказали, что сумма целого числа a и его квадрата a² всегда является чётным числом.

Это следует из того, что произведение a(1 + a) содержит хотя бы один чётный множитель, а значит, делится на 2.