ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 784 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) 7¹⁶ + 7¹⁴ делится на 50;
б) 5³¹ − 5²⁹ делится на 100;
в) 25⁹ + 5¹⁷ делится на 30;
г) 27¹⁰ − 9¹⁴ делится на 24;
д) 12¹³ − 12¹² + 12¹¹ делится на 7 и на 19;
е) 11⁹ − 11⁸ + 11⁷ делится на 3 и на 37.

1. \( 7^{16} + 7^{14} \) делится на 50.
2. \( 5^{31} — 5^{29} \) делится на 100.
3. \( 25^9 + 5^{17} \) делится на 30.
4. \( 27^{10} — 9^{14} \) делится на 24.
5. \( 12^{13} — 12^{12} + 12^{11} \) делится на 7 и на 19.
6. \( 11^9 — 11^8 + 11^7 \) делится на 3 и на 37.

а) \( 7^{16} + 7^{14} \) делится на 50

1. Вынесем общий множитель \( 7^{14} \):\( 7^{16} + 7^{14} = 7^{14} \cdot \left( 7^2 + 1 \right) \).
2. Вычислим \( 7^2 + 1 \):\( 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50 \).
3. Таким образом:\( 7^{16} + 7^{14} = 7^{14} \cdot 50 \).
4. Очевидно, что произведение делится на 50.

Ответ: \( 7^{16} + 7^{14} \) делится на 50.

б) \( 5^{31} — 5^{29} \) делится на 100

1. Вынесем общий множитель \( 5^{29} \):\( 5^{31} — 5^{29} = 5^{29} \cdot \left( 5^2 — 1 \right) \).
2. Вычислим \( 5^2 — 1 \):\( 5^2 — 1 = 25 — 1 = 24 \).
3. Таким образом:\( 5^{31} — 5^{29} = 5^{29} \cdot 24 \).
4. Заметим, что \( 5^{29} \) делится на 25, а \( 24 \) делится на 4. Следовательно, произведение \( 5^{29} \cdot 24 \) делится на \( 25 \cdot 4 = 100 \).

Ответ: \( 5^{31} — 5^{29} \) делится на 100.

в) \( 25^9 + 5^{17} \) делится на 30

1. Представим \( 25^9 \) как \( (5^2)^9 = 5^{18} \):\( 25^9 + 5^{17} = 5^{18} + 5^{17} \).
2. Вынесем общий множитель \( 5^{17} \):\( 5^{18} + 5^{17} = 5^{17} \cdot \left( 5 + 1 \right) \).
3. Вычислим \( 5 + 1 \):\( 5 + 1 = 6 \).
4. Таким образом:\( 25^9 + 5^{17} = 5^{17} \cdot 6 \).
5. Заметим, что \( 5^{17} \) делится на 5, а \( 6 \) делится на 2 и 3. Следовательно, произведение \( 5^{17} \cdot 6 \) делится на \( 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30 \).

Ответ: \( 25^9 + 5^{17} \) делится на 30.

г) \( 27^{10} — 9^{14} \) делится на 24

1. Представим числа через степени тройки:\( 27 = 3^3, \quad 9 = 3^2 \).

   \( 27^{10} = (3^3)^{10} = 3^{30}, \quad 9^{14} = (3^2)^{14} = 3^{28} \).

2. Выражение становится:\( 27^{10} — 9^{14} = 3^{30} — 3^{28} \).
3. Вынесем общий множитель \( 3^{28} \):\( 3^{30} — 3^{28} = 3^{28} \cdot \left( 3^2 — 1 \right) \).
4. Вычислим \( 3^2 — 1 \):\( 3^2 — 1 = 9 — 1 = 8 \).
5. Таким образом:\( 27^{10} — 9^{14} = 3^{28} \cdot 8 \).
6. Заметим, что \( 3^{28} \) делится на 3, а \( 8 \) делится на 8. Следовательно, произведение \( 3^{28} \cdot 8 \) делится на \( 3 \cdot 8 = 24 \).

Ответ: \( 27^{10} — 9^{14} \) делится на 24.

д) \( 12^{13} — 12^{12} + 12^{11} \) делится на 7 и на 19

1. Вынесем общий множитель \( 12^{11} \):\( 12^{13} — 12^{12} + 12^{11} = 12^{11} \cdot \left( 12^2 — 12 + 1 \right) \).
2. Вычислим \( 12^2 — 12 + 1 \):\( 12^2 — 12 + 1 = 144 — 12 + 1 = 133 \).
3. Разложим \( 133 \) на множители:\( 133 = 7 \cdot 19 \).
4. Таким образом:\( 12^{13} — 12^{12} + 12^{11} = 12^{11} \cdot 133 \).
5. Очевидно, что \( 12^{11} \cdot 133 \) делится на 7 и на 19.

Ответ: \( 12^{13} — 12^{12} + 12^{11} \) делится на 7 и на 19.

е) \( 11^9 — 11^8 + 11^7 \) делится на 3 и на 37

1. Вынесем общий множитель \( 11^7 \):\( 11^9 — 11^8 + 11^7 = 11^7 \cdot \left( 11^2 — 11 + 1 \right) \).
2. Вычислим \( 11^2 — 11 + 1 \):\( 11^2 — 11 + 1 = 121 — 11 + 1 = 111 \).
3. Разложим \( 111 \) на множители:\( 111 = 3 \cdot 37 \).
4. Таким образом:\( 11^9 — 11^8 + 11^7 = 11^7 \cdot 111 \).
5. Очевидно, что \( 11^7 \cdot 111 \) делится на 3 и на 37.

Ответ: \( 11^9 — 11^8 + 11^7 \) делится на 3 и на 37.

Итоговые ответы:

1. \( 7^{16} + 7^{14} \) делится на 50.
2. \( 5^{31} — 5^{29} \) делится на 100.
3. \( 25^9 + 5^{17} \) делится на 30.
4. \( 27^{10} — 9^{14} \) делится на 24.
5. \( 12^{13} — 12^{12} + 12^{11} \) делится на 7 и на 19.
6. \( 11^9 — 11^8 + 11^7 \) делится на 3 и на 37.