Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 769 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:
а) 3(x2 − x + 1) − 0,5x(4x − 6) является положительным числом;
б) y(2 + y − y3) − 2/3(6 + 3y + 1,5y2) является отрицательным числом.
1. (а): \( 3(x^2 — x + 1) — 0,5x(4x — 6) \) всегда положительно, так как \( x^2 + 3 > 0 \).
2. (б): \( y(2 + y — y^3) — \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) \) всегда отрицательно, так как \( -y^4 — 4 < 0 \).
Решение пункта (а):
Дано выражение:
\( 3(x^2 — x + 1) — 0,5x(4x — 6) \).
Шаг 1. Раскрываем скобки.
1. Раскрываем первую часть:
\( 3(x^2 — x + 1) = 3x^2 — 3x + 3 \).
2. Раскрываем вторую часть:
\( -0,5x(4x — 6) = -2x^2 + 3x \).
Шаг 2. Складываем результаты.
Собираем все члены:
\( 3x^2 — 3x + 3 — 2x^2 + 3x \).
Приводим подобные слагаемые:
\( (3x^2 — 2x^2) + (-3x + 3x) + 3 = x^2 + 3 \).
Итак, выражение упрощается до:
\( x^2 + 3 \).
Шаг 3. Анализируем знак выражения.
1. \( x^2 \) — квадрат переменной \( x \), всегда неотрицателен (\( x^2 \geq 0 \)).
2. \( x^2 + 3 \) всегда больше 3, так как добавляется положительное число \( 3 \).
Следовательно, при любых значениях \( x \) выражение \( x^2 + 3 \) всегда положительно.
Ответ для пункта (а):
\( \text{Выражение } 3(x^2 — x + 1) — 0,5x(4x — 6) \text{ всегда положительно.} \)
Решение пункта (б):
Дано выражение:
\( y(2 + y — y^3) — \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) \).
Шаг 1. Раскрываем скобки.
1. Раскрываем первую часть:
\( y(2 + y — y^3) = 2y + y^2 — y^4 \).
2. Раскрываем вторую часть:
\( -\frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) = -\frac{2}{3} \cdot 6 — \frac{2}{3} \cdot 3y — \frac{2}{3} \cdot 1,5y^2 \).
Считаем каждое слагаемое:
- \( -\frac{2}{3} \cdot 6 = -4 \),
- \( -\frac{2}{3} \cdot 3y = -2y \),
- \( -\frac{2}{3} \cdot 1,5y^2 = -y^2 \).
Итог:
\( -\frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) = -4 — 2y — y^2 \).
Шаг 2. Складываем результаты.
Собираем все члены:
\( (2y + y^2 — y^4) + (-4 — 2y — y^2) \).
Приводим подобные слагаемые:
\( 2y — 2y + y^2 — y^2 — y^4 — 4 = -y^4 — 4 \).
Итак, выражение упрощается до:
\( -y^4 — 4 \).
Шаг 3. Анализируем знак выражения.
1. \( y^4 \) — четвертая степень переменной \( y \), всегда неотрицательна (\( y^4 \geq 0 \)).
2. \( -y^4 \) всегда неположительно (\( -y^4 \leq 0 \)).
3. \( -y^4 — 4 \) всегда меньше \(-4\), так как к отрицательному числу \( -y^4 \) прибавляется еще отрицательное число \( -4 \).
Следовательно, при любых значениях \( y \) выражение \( -y^4 — 4 \) всегда отрицательно.
Ответ для пункта (б):
\( \text{Выражение } y(2 + y — y^3) — \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) \text{ всегда отрицательно.} \)
Итоговые ответы:
- (а): \( 3(x^2 — x + 1) — 0,5x(4x — 6) \) всегда положительно.
- (б): \( y(2 + y — y^3) — \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) \) всегда отрицательно.
Алгебра
