Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 757 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом значении а сумма многочленов принимает отрицательное значение.
\[
1,6a^5 — \frac{1}{3}a^4 — 3,4a^3 — a^2 — 1 \quad \text{и} \quad -\frac{1}{5}a^5 — \frac{2}{3}a^4 + \frac{3}{5}a^3
\]
\[
(1,6a^5 — \frac{1}{3}a^4 — 3,4a^3 — a^2 — 1) + \left(-\frac{1}{5}a^5 — \frac{2}{3}a^4 + \frac{3}{5}a^3\right) =
\]
\[
(1,6a^5 — \frac{1}{3}a^4 — 3,4a^3 — a^2 — 1) + \left(-\frac{1}{5}a^5 — \frac{2}{3}a^4 + \frac{3}{5}a^3\right) =
\]
\[
1,6a^5 — \frac{1}{3}a^4 — 3,4a^3 — a^2 — 1 — \frac{1}{5}a^5 — \frac{2}{3}a^4 + \frac{3}{5}a^3 =
\]
\[
-2a^4 — a^2 — 1.
\]
Так как \(-2a^4\), \(-a^2\) и \(-1\) — отрицательные числа, то и сумма многочленов при любом значении \(a\) будет принимать отрицательное значение.
Шаг 1. Сложение двух многочленов
Складываем два многочлена, группируя члены с одинаковыми степенями \(a\):
\[
\left(1,6a^5 — \frac{1}{3}a^4 — 3,4a^3 — a^2 — 1\right) + \left(-\frac{1}{5}a^5 — \frac{2}{3}a^4 + \frac{3}{5}a^3\right)
\]
Приводим подобные члены:
1. Члены с \(a^5\): \(1,6a^5 — \frac{1}{5}a^5 = \frac{8}{5}a^5 — \frac{1}{5}a^5 = \frac{7}{5}a^5\)
2. Члены с \(a^4\): \(-\frac{1}{3}a^4 — \frac{2}{3}a^4 = -\frac{1}{3}a^4 — \frac{2}{3}a^4 = -a^4\)
3. Члены с \(a^3\): \(-3,4a^3 + \frac{3}{5}a^3 = -\frac{17}{5}a^3 + \frac{3}{5}a^3 = -\frac{14}{5}a^3\)
4. Члены с \(a^2\): \(-a^2\)
5. Свободный член: \(-1\)
Итоговый результат сложения:
\[
\frac{7}{5}a^5 — a^4 — \frac{14}{5}a^3 — a^2 — 1
\]
Шаг 2. Анализ знака выражения
Нужно доказать, что сумма многочленов \(\frac{7}{5}a^5 — a^4 — \frac{14}{5}a^3 — a^2 — 1\) всегда отрицательна.
1. Высокие степени \(a^5\) и \(a^4\):
— Коэффициент при \(a^5\) равен \(\frac{7}{5}\) (положительный).
— Коэффициент при \(a^4\) равен \(-1\) (отрицательный).
— При больших значениях \(a\), член \(-a^4\) доминирует над \(\frac{7}{5}a^5\), так как \(a^4\) имеет больший коэффициент (по модулю) и отрицательный знак.
2. Средние степени \(a^3\) и \(a^2\):
— Коэффициент при \(a^3\): \(-\frac{14}{5}\) (отрицательный).
— Коэффициент при \(a^2\): \(-1\) (отрицательный).
— Эти члены также уменьшают значение многочлена.
3. Свободный член:
Свободный член равен \(-1\), что также уменьшает значение многочлена.
Шаг 3. Проверка критических точек
Рассмотрим поведение многочлена при разных значениях \(a\):
1. При \(a = 0\):
\[
\frac{7}{5}(0)^5 — (0)^4 — \frac{14}{5}(0)^3 — (0)^2 — 1 = -1
\]
Значение отрицательно.
2. При \(a > 0\):
— Член \(-a^4\) (отрицательный)
Алгебра
