Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 749 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.
Произведение \( n(2n + 1)(7n + 1) \) делится на 6, так как:
1. Оно делится на 2 (либо \( n \), либо \( 2n + 1 \) чётное).
2. Оно делится на 3 (либо \( n \), либо \( 2n + 1 \), либо \( 7n + 1 \) делится на 3).
Следовательно, \( n(2n + 1)(7n + 1) \) делится на 6.
Шаг 1: Проверка делимости на 2
Произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 2, если хотя бы один из множителей n, 2n + 1, 7n + 1 делится на 2.
Случай 1: n — чётное число
Если n — чётное, то n делится на 2, и всё произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 2.
Случай 2: n — нечётное число
Если n — нечётное, то:
2n— тоже нечётное (так как произведение нечётного числа на 2 остаётся нечётным),2n + 1— чётное (так как к нечётному числу прибавляется 1).
Таким образом, 2n + 1 делится на 2, и всё произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 2.
Вывод по шагу 1:
Произведение n(2n + 1)(7n + 1) всегда делится на 2, независимо от чётности n.
Шаг 2: Проверка делимости на 3
Произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 3, если хотя бы один из множителей n, 2n + 1, 7n + 1 делится на 3.
Случай 1: n делится на 3
Если n делится на 3, то всё произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 3.
Случай 2: n не делится на 3
Если n не делится на 3, то остаток от деления n на 3 — либо 1, либо 2. Рассмотрим оба случая:
Остаток 1: n = 3x + 1
Подставим n = 3x + 1 в выражение 2n + 1:
2n + 1 = 2(3x + 1) + 1 = 6x + 2 + 1 = 6x + 3 = 3(2x + 1).
Здесь видно, что 2n + 1 делится на 3, так как содержит множитель 3. Это означает, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 3.
Остаток 2: n = 3x + 2
Подставим n = 3x + 2 в выражение 7n + 1:
7n + 1 = 7(3x + 2) + 1 = 21x + 14 + 1 = 21x + 15 = 3(7x + 5).
Здесь видно, что 7n + 1 делится на 3, так как содержит множитель 3. Это означает, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 3.
Вывод по шагу 2:
Произведение n(2n + 1)(7n + 1) всегда делится на 3, независимо от того, делится ли n на 3.
Шаг 3: Проверка делимости на 6
Так как произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится и на 2, и на 3, оно делится на 6.
Ответ:
Произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6.
Алгебра
