Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 745 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Верно ли, что при любых целых значениях а и b произвдение ab(a + b)(a − b) делится на 3?
Если \( a \) и \( b \) делятся на 3, либо их остатки одинаковы, либо разные, то в каждом случае выражение \( ab(a + b)(a — b) \) делится на 3, так как один из множителей всегда кратен 3. Утверждение доказано.
Случай 1: \( a \) и \( b \) делятся на 3
Если \( a \) и \( b \) делятся на 3, то они могут быть записаны в виде:
\[
a = 3x, \quad b = 3y,
\]
где \( x \) и \( y \) — целые числа.
Подставим эти выражения в \( ab(a + b)(a — b) \):
\[
ab(a + b)(a — b) = (3x)(3y)((3x) + (3y))((3x) — (3y)).
\]
Раскроем скобки:
\[
ab(a + b)(a — b) = 3x \cdot 3y \cdot (3x + 3y) \cdot (3x — 3y).
\]
Вынесем множитель \( 3 \) из каждого слагаемого:
\[
ab(a + b)(a — b) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot (x + y) \cdot (x — y).
\]
Итак, выражение содержит множитель \( 3^4 \), что означает, что оно делится на 3. Следовательно, утверждение верно в этом случае.
Случай 2: \( a \) и \( b \) не делятся на 3, но остатки одинаковые
Если \( a \) и \( b \) не делятся на 3, но дают одинаковый остаток при делении на 3 (например, остаток 1), то их можно записать в виде:
\[
a = 3x + 1, \quad b = 3y + 1,
\]
где \( x \) и \( y \) — целые числа.
Подставим эти выражения в \( ab(a + b)(a — b) \):
\[
ab(a + b)(a — b) = (3x + 1)(3y + 1)((3x + 1) + (3y + 1))((3x + 1) — (3y + 1)).
\]
Раскроем каждую скобку:
- \( (3x + 1)(3y + 1) = 9xy + 3x + 3y + 1 \),
- \( (3x + 1) + (3y + 1) = 3x + 3y + 2 \),
- \( (3x + 1) — (3y + 1) = 3x — 3y \).
Подставим эти результаты обратно:
\[
ab(a
\]
Алгебра
