ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 745 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Верно ли, что при любых целых значениях а и b произвдение ab(a + b)(a − b) делится на 3?

Если \( a \) и \( b \) делятся на 3, либо их остатки одинаковы, либо разные, то в каждом случае выражение \( ab(a + b)(a — b) \) делится на 3, так как один из множителей всегда кратен 3. Утверждение доказано.

Случай 1: \( a \) и \( b \) делятся на 3

Если \( a \) и \( b \) делятся на 3, то они могут быть записаны в виде:

\[
a = 3x, \quad b = 3y,
\]

где \( x \) и \( y \) — целые числа.

Подставим эти выражения в \( ab(a + b)(a — b) \):

\[
ab(a + b)(a — b) = (3x)(3y)((3x) + (3y))((3x) — (3y)).
\]

Раскроем скобки:

\[
ab(a + b)(a — b) = 3x \cdot 3y \cdot (3x + 3y) \cdot (3x — 3y).
\]

Вынесем множитель \( 3 \) из каждого слагаемого:

\[
ab(a + b)(a — b) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot (x + y) \cdot (x — y).
\]

Итак, выражение содержит множитель \( 3^4 \), что означает, что оно делится на 3. Следовательно, утверждение верно в этом случае.

Случай 2: \( a \) и \( b \) не делятся на 3, но остатки одинаковые

Если \( a \) и \( b \) не делятся на 3, но дают одинаковый остаток при делении на 3 (например, остаток 1), то их можно записать в виде:

\[
a = 3x + 1, \quad b = 3y + 1,
\]

где \( x \) и \( y \) — целые числа.

Подставим эти выражения в \( ab(a + b)(a — b) \):

\[
ab(a + b)(a — b) = (3x + 1)(3y + 1)((3x + 1) +\]

\[(3y + 1))((3x + 1) — (3y + 1)).
\]

Раскроем каждую скобку:

\( (3x + 1)(3y + 1) = 9xy + 3x + 3y + 1 \),

\( (3x + 1) + (3y + 1) = 3x + 3y + 2 \),

\( (3x + 1) — (3y + 1) = 3x — 3y \).

Подставим эти результаты обратно:

\[
ab(a
\]