ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 744 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если целые числа а и b при делении на 3 дают разные остатки (не равные нулю), то число ab + 1 делится на 3.

ab + 1.
Пусть a = 3x + 1 и b = 3y + 2:
(3x + 1)(3y + 2) + 1 = 9xy + 6x + 3y + 2 + 1 =
= 9xy + 6x + 3y + 3 = 3(3xy + 2x + y + 1).

Так как множитель 3 делится на 3, то и число ab + 1 будет делиться на 3.

Шаг 1: Представление чисел a и b

Пусть остатки при делении a и b на 3 равны 1 и 2 соответственно. Тогда:

a = 3x + 1, b = 3y + 2,

где x и y — целые числа.

Шаг 2: Выражение для ab + 1

Подставим представления a и b в выражение ab + 1:

ab + 1 = (3x + 1)(3y + 2) + 1.

Раскроем скобки:

ab + 1 = (3x + 1)(3y + 2) + 1 = 9xy + 6x + 3y + 2 + 1.

Приведём подобные слагаемые:

ab + 1 = 9xy + 6x + 3y + 3.

Шаг 3: Вынесение общего множителя

Заметим, что все слагаемые содержат множитель 3. Вынесем его за скобки:

ab + 1 = 3(3xy + 2x + y + 1).

Шаг 4: Делимость на 3

Так как выражение 3(3xy + 2x + y + 1) содержит множитель 3, то ab + 1 делится на 3.

Шаг 5: Вывод

Мы доказали, что если числа a и b при делении на 3 дают остатки 1 и 2 (разные остатки, не равные нулю), то выражение ab + 1 делится на 3.

Общий случай

Если a и b дают остатки 2 и 1 (в обратном порядке), то доказательство аналогично, так как перемножение остатков 2 · 1 также даёт результат, делящийся на 3.

Ответ:

Утверждение доказано.