Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 727 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Разложите на множители многочлен:
а) x3 + x2 + x + 1;
б) y5 − y3 − y2 + 1;
в) a4 + 2a3 − a − 2;
г) b6 − 3b4 − 2b2 + 6;
д) a2 − ab − 8a + 8b;
е) ab − 3b + b2 − 3a;
ж) 11x − xy + 11y − x2;
з) kn − mn − n2 + mk.
а) \(x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + (x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)\);
б) \(y^5 — y^3 — y^2 + 1 = y^3(y^2 — 1) — (y^2 — 1) = (y^3 — 1)(y^2 — 1)\);
в) \(a^4 + 2a^3 — a — 2 = a(a^3 — 1) + 2(a^3 — 1) = (a + 2)(a^3 — 1)\);
г) \(b^6 — 3b^4 — 2b^2 + 6 = b^4(b^2 — 3) — 2(b^2 — 3) = (b^4 — 2)(b^2 — 3)\);
д) \(a^2 — ab — 8a + 8b = a(a — b) — 8(a — b) = (a — 8)(a — b)\);
е) \(ab — 3b + b^2 — 3a = a(b — 3) — b(3 — b) = a(b — 3) + b(b — 3) = (a + b)(b — 3)\);
ж) \(11x — xy + 11y — x^2 = 11(x + y) — x(y + x) = (11 — x)(x + y)\);
з) \(kn — mn — n^2 + mk = k(n + m) — n(m + n) = (k — n)(m + n)\).
а) \(x^3 + x^2 + x + 1\)
- Запишем выражение:
x^3 + x^2 + x + 1.
- Группируем слагаемые:
(x^3 + x^2) + (x + 1).
- В первой группе (\(x^3 + x^2\)) вынесем общий множитель \(x^2\):
x^3 + x^2 = x^2(x + 1).
- Во второй группе (\(x + 1\)) ничего выносить не нужно:
x + 1 = x + 1.
- Объединим обе группы:
x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + (x + 1).
- Вынесем общий множитель \((x + 1)\):
x^2(x + 1) + (x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1).
Ответ:
(x^2 + 1)(x + 1).
б) \(y^5 — y^3 — y^2 + 1\)
- Запишем выражение:
y^5 - y^3 - y^2 + 1.
- Группируем слагаемые:
(y^5 - y^3) - (y^2 - 1).
- В первой группе (\(y^5 — y^3\)) вынесем общий множитель \(y^3\):
y^5 - y^3 = y^3(y^2 - 1).
- Во второй группе (\(-y^2 + 1\)) представим разность квадратов:
-(y^2 - 1) = -(y - 1)(y + 1).
- Теперь выражение принимает вид:
y^5 - y^3 - y^2 + 1 = y^3(y^2 - 1) - (y^2 - 1).
- Вынесем общий множитель \((y^2 — 1)\):
y^3(y^2 - 1) - (y^2 - 1) = (y^3 - 1)(y^2 - 1).
- Представим \(y^3 — 1\) как разность кубов:
y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1).
- Подставим:
(y^3 - 1)(y^2 - 1) = (y - 1)(y^2 + y + 1)(y - 1)(y + 1).
Ответ:
(y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1).
в) \(a^4 + 2a^3 — a — 2\)
- Запишем выражение:
a^4 + 2a^3 - a - 2.
- Группируем слагаемые:
(a^4 + 2a^3) - (a + 2).
- В первой группе (\(a^4 + 2a^3\)) вынесем общий множитель \(a^3\):
a^4 + 2a^3 = a^3(a + 2).
- Во второй группе (\(-a — 2\)) вынесем общий множитель \(-1\):
-a - 2 = -(a + 2).
- Теперь выражение принимает вид:
a^4 + 2a^3 - a - 2 = a^3(a + 2) - (a + 2).
- Вынесем общий множитель \((a + 2)\):
a^3(a + 2) - (a + 2) = (a^3 - 1)(a + 2).
- Представим \(a^3 — 1\) как разность кубов:
a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1).
- Подставим:
(a^3 - 1)(a + 2) = (a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 2).
Ответ:
(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 2).
г) \(b^6 — 3b^4 — 2b^2 + 6\)
- Запишем выражение:
b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6.
- Группируем слагаемые:
(b^6 - 3b^4) - (2b^2 - 6).
- В первой группе (\(b^6 — 3b^4\)) вынесем общий множитель \(b^4\):
b^6 - 3b^4 = b^4(b^2 - 3).
- Во второй группе (\(-2b^2 + 6\)) вынесем общий множитель \(-2\):
-2b^2 + 6 = -2(b^2 - 3).
- Теперь выражение принимает вид:
b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6 = b^4(b^2 - 3) - 2(b^2 - 3).
- Вынесем общий множитель \((b^2 — 3)\):
b^4(b^2 - 3) - 2(b^2 - 3) = (b^4 - 2)(b^2 - 3).
Ответ:
(b^4 - 2)(b^2 - 3).
д) \(a^2 — ab — 8a + 8b\)
- Запишем выражение:
a^2 - ab - 8a + 8b.
- Группируем слагаемые:
(a^2 - ab) - (8a - 8b).
- В первой группе (\(a^2 — ab\)) вынесем общий множитель \(a\):
a^2 - ab = a(a - b).
- Во второй группе (\(-8a + 8b\)) вынесем общий множитель \(-8\):
-8a + 8b = -8(a - b).
- Теперь выражение принимает вид:
a^2 - ab - 8a + 8b = a(a - b) - 8(a - b).
- Вынесем общий множитель \((a — b)\):
a(a - b) - 8(a - b) = (a - 8)(a - b).
Ответ:
(a - 8)(a - b).
е) \(ab — 3b + b^2 — 3a\)
- Запишем выражение:
ab - 3b + b^2 - 3a.
- Группируем слагаемые:
(ab - 3a) + (b^2 - 3b).
- В первой группе (\(ab — 3a\)) вынесем общий множитель \(a\):
ab - 3a = a(b - 3).
- Во второй группе (\(b^2 — 3b\)) вынесем общий множитель \(b\):
b^2 - 3b = b(b - 3).
- Теперь выражение принимает вид:
ab - 3b + b^2 - 3a = a(b - 3) + b(b - 3).
- Вынесем общий множитель \((b — 3)\):
a(b - 3) + b(b - 3) = (a + b)(b - 3).
Ответ:
(a + b)(b - 3).
ж) \(11x — xy + 11y — x^2\)
- Запишем выражение:
11x - xy + 11y - x^2.
- Группируем слагаемые:
(11x + 11y) - (xy + x^2).
- В первой группе (\(11x + 11y\)) вынесем общий множитель \(11\):
11x + 11y = 11(x + y).
- Во второй группе (\(-xy — x^2\)) вынесем общий множитель \(-x\):
-xy - x^2 = -x(x + y).
- Теперь выражение принимает вид:
11x - xy + 11y - x^2 = 11(x + y) - x(x + y).
- Вынесем общий множитель \((x + y)\):
11(x + y) - x(x + y) = (11 - x)(x + y).
Ответ:
(11 - x)(x + y).
з) \(kn — mn — n^2 + mk\)
- Запишем выражение:
kn - mn - n^2 + mk.
- Группируем слагаемые:
(kn + mk) - (mn + n^2).
- В первой группе (\(kn + mk\)) вынесем общий множитель \(k\):
kn + mk = k(n + m).
- Во второй группе (\(-mn — n^2\)) вынесем общий множитель \(-n\):
-mn - n^2 = -n(m + n).
- Теперь выражение принимает вид:
kn - mn - n^2 + mk = k(n + m) - n(m + n).
- Вынесем общий множитель \((n + m)\):
k(n + m) - n(n + m) = (k - n)(n + m).
Ответ:
(k - n)(n + m).
Алгебра
