Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 727 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Разложите на множители многочлен:
а) x3 + x2 + x + 1;
б) y5 − y3 − y2 + 1;
в) a4 + 2a3 − a − 2;
г) b6 − 3b4 − 2b2 + 6;
д) a2 − ab − 8a + 8b;
е) ab − 3b + b2 − 3a;
ж) 11x − xy + 11y − x2;
з) kn − mn − n2 + mk.
а) \(x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + (x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)\);
б) \(y^5 — y^3 — y^2 + 1 = y^3(y^2 — 1) — (y^2 — 1) = (y^3 — 1)(y^2 — 1)\);
в) \(a^4 + 2a^3 — a — 2 = a(a^3 — 1) + 2(a^3 — 1) = (a + 2)(a^3 — 1)\);
г) \(b^6 — 3b^4 — 2b^2 + 6 = b^4(b^2 — 3) — 2(b^2 — 3) = (b^4 — 2)(b^2 — 3)\);
д) \(a^2 — ab — 8a + 8b = a(a — b) — 8(a — b) = (a — 8)(a — b)\);
е) \(ab — 3b + b^2 — 3a = a(b — 3) — b(3 — b) = a(b — 3) + b(b — 3) =\)
\((a + b)(b — 3)\);
ж) \(11x — xy + 11y — x^2 = 11(x + y) — x(y + x) = (11 — x)(x + y)\);
з) \(kn — mn — n^2 + mk = k(n + m) — n(m + n) = (k — n)(m + n)\).
a) \( x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + (x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1) \)
Шаг 1: Мы можем вынести общий множитель \( (x + 1) \) из первых двух слагаемых:
\( x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) \)
Шаг 2: Теперь выносим \( (x + 1) \) за скобки:
\( (x + 1)(x^2 + 1) \)
Ответ: \( (x + 1)(x^2 + 1) \)
б) \( y^5 — y^3 — y^2 + 1 = y^3(y^2 — 1) — (y^2 — 1) = (y^3 — 1)(y^2 — 1) \)
Шаг 1: Мы можем вынести общий множитель \( (y^2 — 1) \) из первых двух слагаемых:
\( y^5 — y^3 — y^2 + 1 = y^3(y^2 — 1) — 1(y^2 — 1) \)
Шаг 2: Теперь выносим \( (y^2 — 1) \) за скобки:
\( (y^3 — 1)(y^2 — 1) \)
Ответ: \( (y^3 — 1)(y^2 — 1) \)
в) \( a^4 + 2a^3 — a — 2 = a(a^3 — 1) + 2(a^3 — 1) = (a + 2)(a^3 — 1) \)
Шаг 1: Мы можем вынести общий множитель \( (a^3 — 1) \) из первых двух слагаемых:
\( a^4 + 2a^3 — a — 2 = a(a^3 — 1) + 2(a^3 — 1) \)
Шаг 2: Теперь выносим \( (a^3 — 1) \) за скобки:
\( (a + 2)(a^3 — 1) \)
Ответ: \( (a + 2)(a^3 — 1) \)
г) \( b^6 — 3b^4 — 2b^2 + 6 = b^4(b^2 — 3) — 2(b^2 — 3) = (b^4 — 2)(b^2 — 3) \)
Шаг 1: Мы можем вынести общий множитель \( (b^2 — 3) \) из первых двух слагаемых:
\( b^6 — 3b^4 — 2b^2 + 6 = b^4(b^2 — 3) — 2(b^2 — 3) \)
Шаг 2: Теперь выносим \( (b^2 — 3) \) за скобки:
\( (b^4 — 2)(b^2 — 3) \)
Ответ: \( (b^4 — 2)(b^2 — 3) \)
д) \( a^2 — ab — 8a + 8b = a(a — b) — 8(a — b) = (a — 8)(a — b) \)
Шаг 1: Мы можем вынести общий множитель \( (a — b) \) из первых двух слагаемых:
\( a^2 — ab — 8a + 8b = a(a — b) — 8(a — b) \)
Шаг 2: Теперь выносим \( (a — b) \) за скобки:
\( (a — 8)(a — b) \)
Ответ: \( (a — 8)(a — b) \)
е) \(ab — 3b + b^2 — 3a = a(b — 3) — b(3 — b) = a(b — 3) + b(b — 3) =\)
\((a + b)(b — 3)\);
Шаг 1: Мы можем вынести общий множитель \( (b — 3) \) из первых двух слагаемых:
\( ab — 3b + b^2 — 3a = a(b — 3) — b(3 — b) \)
Шаг 2: Мы видим, что выражение \( (3 — b) \) можно записать как \( -(b — 3) \). Заменим это:
\( a(b — 3) + b(b — 3) \)
Шаг 3: Теперь выносим \( (b — 3) \) за скобки:
\( (a + b)(b — 3) \)
Ответ: \( (a + b)(b — 3) \)
ж) \( 11x — xy + 11y — x^2 = 11(x + y) — x(y + x) = (11 — x)(x + y) \)
Шаг 1: Мы можем сгруппировать похожие члены и выделить общий множитель:
\( 11x — xy + 11y — x^2 = 11(x + y) — x(y + x) \)
Шаг 2: Замечаем, что \( x + y = y + x \), и продолжаем выносить общий множитель:
\( (11 — x)(x + y) \)
Ответ: \( (11 — x)(x + y) \)
з) \( kn — mn — n^2 + mk = k(n + m) — n(m + n) = (k — n)(m + n) \)
Шаг 1: Мы можем сгруппировать похожие члены и вынести общий множитель \( (n + m) \):
\( kn — mn — n^2 + mk = k(n + m) — n(m + n) \)
Шаг 2: Теперь вынесем \( (n + m) \) за скобки:
\( (k — n)(m + n) \)
Ответ: \( (k — n)(m + n) \)
Алгебра
