Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 718 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.
Пусть длина была — х см, а ширина была —
(70 : 2 — x) = (35 — x) см.
Тогда длина стала — (x — 5) см, а ширина стала —
(35 — x + 5) = (40 — x) см.
По условию задачи площадь увеличилась на 50 см².
Составим и решим уравнение:
1) \((x — 5)(40 — x) — x(35 — x) = 50\)
\(40x — x^2 — 200 + 5x — 35x + x^2 = 50\)
\(40x + 5x — 35x = 50 + 200\)
\(10x = 250\)
\(x = 250 : 10\)
\(x = 25\) (см) — была длина.
2) \(35 — 25 = 10\) (см) — была ширина.
Ответ: 25; 10.
Условие задачи:
Изначально прямоугольник имел длину \(x\) см и ширину \((35 — x)\) см. После изменения длина уменьшилась на 5 см, а ширина увеличилась на 5 см. Площадь прямоугольника увеличилась на 50 см². Найти исходные длину и ширину.
Подробное решение:
- Обозначения:
— Пусть исходная длина прямоугольника равна \(x\) см.
— Тогда исходная ширина равна \((35 — x)\) см (так как сумма длины и ширины равна 35 см).
После изменений:
— Новая длина: \(x — 5\) см.
— Новая ширина: \((35 — x) + 5 = 40 — x\) см. - Условие задачи:
Известно, что площадь увеличилась на 50 см².
Составим уравнение для разности площадей:
\( \text{Новая площадь} — \text{Исходная площадь} = 50. \) - Площадь прямоугольника до изменения:
\( \text{Исходная площадь} = x \cdot (35 — x) = 35x — x^2. \) - Площадь прямоугольника после изменения:
\( \text{Новая площадь} = (x — 5) \cdot (40 — x). \) - Разность площадей:
\( (x — 5)(40 — x) — x(35 — x) = 50. \) - Раскрытие скобок в уравнении:
Раскроем скобки слева:
\( (x — 5)(40 — x) = 40x — x^2 — 200 + 5x = 40x — x^2 + 5x — 200. \)
Раскроем скобки для второй части:
\( x(35 — x) = 35x — x^2. \)
Подставим всё в уравнение:
\( (40x — x^2 + 5x — 200) — (35x — x^2) = 50. \) - Упрощение уравнения:
Упростим:
\( 40x + 5x — 35x — x^2 + x^2 — 200 = 50. \)
Сократим одинаковые слагаемые:
\( (40x + 5x — 35x) — 200 = 50. \)
\( 10x — 200 = 50. \) - Решение уравнения:
Добавим 200 к обеим частям:
\( 10x = 250. \)
Разделим обе части на 10:
\( x = 25. \) - Найдём ширину:
Ширина до изменения:
\( 35 — x = 35 — 25 = 10. \) - Проверка:
1. Исходная площадь:
\( x \cdot (35 — x) = 25 \cdot 10 = 250 \, \text{см}^2. \)
2. Новая площадь:
\( (x — 5) \cdot (40 — x) = (25 — 5) \cdot (40 — 25) = 20 \cdot 15 = 300 \, \text{см}^2. \)
3. Разность площадей:
\( 300 — 250 = 50 \, \text{см}^2. \)
Условие выполнено.
Ответ:
Исходная длина: 25 см, ширина: 10 см.
Алгебра
