ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 712 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Пусть, а,b, c и d – четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность cd − ab кратна 16.

cd — ab,
Пусть a = 2x + 1, b = 2x + 3, c = 2x + 5 и d = 2x + 7.

\((2x + 5)(2x + 7) — (2x + 1)(2x + 3) =\)
\(= 4x^2 + 14x + 10x + 35 — (4x^2 + 6x + 2x + 3) =\)
\(= 4x^2 + 14x + 10x + 35 — 4x^2 — 6x — 2x — 3 = 16x — 32 =\)
\(= 16(x — 2).\)

Так как множитель 16 делится на 16, то значение всего выражения кратно 16.

Условие

Нам нужно доказать, что выражение

cd — ab кратно 16, если заданы:

a = 2x + 1, b = 2x + 3, c = 2x + 5, d = 2x + 7.

Шаг 1. Запишем выражение cd — ab.

Подставим значения c, d, a, b в выражение:

cd — ab = (2x + 5)(2x + 7) — (2x + 1)(2x + 3).

Шаг 2. Раскроем скобки для каждого произведения.

Для (2x + 5)(2x + 7):

(2x + 5)(2x + 7) = 2x ⋅ 2x + 2x ⋅ 7 + 5 ⋅ 2x + 5 ⋅ 7.

Выполним умножение:

= 4x² + 14x + 10x + 35.

Сложим подобные члены:

= 4x² + 24x + 35.

Для (2x + 1)(2x + 3):

(2x + 1)(2x + 3) = 2x ⋅ 2x + 2x ⋅ 3 + 1 ⋅ 2x + 1 ⋅ 3.

Выполним умножение:

= 4x² + 6x + 2x + 3.

Сложим подобные члены:

= 4x² + 8x + 3.

Шаг 3. Найдем разность cd — ab.

Подставим результаты раскрытия скобок:

cd — ab = (4x² + 24x + 35) — (4x² + 8x + 3).

Раскроем скобки:

cd — ab = 4x² + 24x + 35 — 4x² — 8x — 3.

Сложим подобные члены:

cd — ab = 4x² — 4x² + 24x — 8x + 35 — 3.

cd — ab = 16x + 32.

Шаг 4. Вынесем общий множитель.

В выражении 16x + 32 вынесем 16 за скобки:

cd — ab = 16(x — 2).

Шаг 5. Проверка делимости.

Так как в выражении 16(x — 2) множитель 16 делится на 16, то всё выражение cd — ab делится на 16 при любом целом x.

Ответ:

Выражение cd — ab всегда кратно 16.