Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 711 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при всех целых n значение выражения:
а) n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) делится на 6;
б) n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) делится на 7.
а) n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) = n2 − n − n2 − 2n − 3n − 6 = −6n − 6 = 6(−n − 1) – делится на 6;
б) n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) = n2 + 2n − n2 + 5n + 7n − 35 = 14n − 35 = 7(2n − 5) − делится на 7.
Пункт а)
Докажем, что выражение
n(n — 1) — (n + 3)(n + 2) делится на 6 при любом целом n.
Шаг 1. Раскрытие скобок.
1. Раскроем первую часть n(n — 1):
n(n — 1) = n2 — n
2. Раскроем вторую часть (n + 3)(n + 2):
(n + 3)(n + 2) = n2 + 2n + 3n + 6 = n2 + 5n + 6
Шаг 2. Подставляем раскрытые выражения.
Теперь подставим их в исходное выражение:
n(n — 1) — (n + 3)(n + 2) = (n2 — n) — (n2 + 5n + 6)
Раскроем скобки:
n2 — n — n2 — 5n — 6
Сложим подобные члены:
n2 — n2 — n — 5n — 6 = -6n — 6
Шаг 3. Вынесем общий множитель.
Вынесем 6 за скобки:
-6n — 6 = -6(n + 1)
Шаг 4. Проверка делимости.
Так как выражение представлено в виде произведения числа 6 и целого числа (n + 1), оно всегда делится на 6.
Вывод для пункта а):
Выражение n(n — 1) — (n + 3)(n + 2) делится на 6 при любом целом n.
Пункт б)
Докажем, что выражение
n(n + 2) — (n — 7)(n — 5) делится на 7 при любом целом n.
Шаг 1. Раскрытие скобок.
1. Раскроем первую часть n(n + 2):
n(n + 2) = n2 + 2n
2. Раскроем вторую часть (n — 7)(n — 5):
(n — 7)(n — 5) = n2 — 5n — 7n + 35 = n2 — 12n + 35
Шаг 2. Подставляем раскрытые выражения.
Теперь подставим их в исходное выражение:
n(n + 2) — (n — 7)(n — 5) = (n2 + 2n) — (n2 — 12n + 35)
Раскроем скобки:
n2 + 2n — n2 + 12n — 35
Сложим подобные члены:
n2 — n2 + 2n + 12n — 35 = 14n — 35
Шаг 3. Вынесем общий множитель.
Вынесем 7 за скобки:
14n — 35 = 7(2n — 5)
Шаг 4. Проверка делимости.
Так как выражение представлено в виде произведения числа 7 и целого числа (2n — 5), оно всегда делится на 7.
Вывод для пункта б):
Выражение n(n + 2) — (n — 7)(n — 5) делится на 7 при любом целом n.
Итог:
Обе части задания доказаны:
- 1. n(n — 1) — (n + 3)(n + 2) делится на 6.
- 2. n(n + 2) — (n — 7)(n — 5) делится на 7.
Алгебра
