ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 710 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что выражение (у − 6)(у + 6) − 2(у − 25) при любом значении у принимает положительное значение.

\((y — 6)(y + 8) — 2(y — 25) = y^2 + 8y — 6y — 48 — 2y + 50 = y^2 + 2.\)
Так как любое число в квадрате есть положительное число, и второе слагаемое также положительное число, то значение выражения при любом значении \(y\) будет принимать положительное значение.

Например,
при \(y = 1:\)
\(1^2 + 2 = 1 + 2 = 3;\)
при \(y = -1:\)
\((-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3.\)

Исходное выражение:

(y — 6)(y + 8) — 2(y — 25)

Шаг 1. Раскрытие первой скобки (y — 6)(y + 8):

Применяем распределительное свойство (раскрываем скобки):

(y — 6)(y + 8) = y · y + y · 8 — 6 · y — 6 · 8

Выполним умножение:

y · y = y², y · 8 = 8y, -6 · y = -6y, -6 · 8 = -48

Сложим полученные члены:

y² + 8y — 6y — 48 = y² + 2y — 48

Шаг 2. Раскрытие второй скобки -2(y — 25):

Применяем распределительное свойство:

-2(y — 25) = -2 · y — 2 · (-25)

Выполним умножение:

-2 · y = -2y, -2 · (-25) = +50

Итак, результат:

-2y + 50

Шаг 3. Подставляем результаты в исходное выражение:

Исходное выражение теперь выглядит так:

(y — 6)(y + 8) — 2(y — 25) = (y² + 2y — 48) + (-2y + 50)

Шаг 4. Приведение подобных членов:

Складываем одночлены:

y² + 2y — 48 — 2y + 50

Сначала складываем члены с y:

2y — 2y = 0

Затем складываем свободные члены:

-48 + 50 = 2

Итак, остаётся:

y² + 2

Шаг 5. Анализ результата:

Окончательное выражение:

y² + 2

1. y² — квадрат числа y, который всегда неотрицателен (y² ≥ 0 для любого y).

2. +2 — положительное число.

Сумма y² + 2 всегда больше нуля.

Пример проверки:

При y = 1:

y² + 2 = 1² + 2 = 1 + 2 = 3

При y = -1:

y² + 2 = (-1)² + 2 = 1 + 2 = 3

Ответ:

Окончательное значение выражения:

y² + 2

При любом значении y выражение всегда положительно.