Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 706 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом значении х:
а) значение выражения (х − 3)(х + 7) − (х + 5)(х − 1) равно −16;
б) значение выражения х4 − (х2 − 7)(х2 + 7) равно 49.
a) \((x — 3)(x + 7) — (x + 5)(x — 1)\)
\[ = x^2 + 7x — 3x — 21 — (x^2 — x + 5x — 5) = \]
\[ = x^2 + 7x — 3x — 21 — x^2 + x — 5x + 5 = -16 \quad \text{верно}; \]
б) \(x^4 — (x^2 — 7)(x^2 + 7)\)
\[ = x^4 — (x^4 + 7x^2 — 7x^2 — 49) = \]
\[ = x^4 — x^4 — 7x^2 + 7x^2 + 49 = 49 \quad \text{верно}. \]
Задание a)
Рассмотрим выражение:
\[ (x — 3)(x + 7) — (x + 5)(x — 1). \]
Шаг 1. Раскрытие скобок в первом произведении \((x — 3)(x + 7)\):
\[ (x — 3)(x + 7) = x \cdot x + x \cdot 7 — 3 \cdot x — 3 \cdot 7. \]
Раскроем каждое произведение:
\[ x^2 + 7x — 3x — 21. \]
Приведем подобные слагаемые:
\[ x^2 + (7x — 3x) — 21 = x^2 + 4x — 21. \]
Шаг 2. Раскрытие скобок во втором произведении \((x + 5)(x — 1)\):
\[ (x + 5)(x — 1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-1). \]
Раскроем каждое произведение:
\[ x^2 — x + 5x — 5. \]
Приведем подобные слагаемые:
\[ x^2 + (-x + 5x) — 5 = x^2 + 4x — 5. \]
Шаг 3. Подставим результаты в исходное выражение:
\[ (x — 3)(x + 7) — (x + 5)(x — 1) = (x^2 + 4x — 21) — (x^2 + 4x — 5). \]
Шаг 4. Уберем скобки и раскроем знак минус:
\[ x^2 + 4x — 21 — x^2 — 4x + 5. \]
Шаг 5. Приведем подобные слагаемые:
- \( x^2 — x^2 = 0 \) (квадратные слагаемые сократились).
- \( 4x — 4x = 0 \) (линейные слагаемые сократились).
- \( -21 + 5 = -16 \) (свободные члены).
Итак, результат:
\[ (x — 3)(x + 7) — (x + 5)(x — 1) = -16. \]
Ответ: -16.
Задание б)
Рассмотрим выражение:
\[ x^4 — (x^2 — 7)(x^2 + 7). \]
Шаг 1. Раскрытие скобок во втором произведении \((x^2 — 7)(x^2 + 7)\):
Это разность квадратов:
\[ (x^2 — 7)(x^2 + 7) = x^4 — 49. \]
Шаг 2. Подставим результат в исходное выражение:
\[ x^4 — (x^4 — 49). \]
Шаг 3. Уберем скобки и раскроем знак минус:
\[ x^4 — x^4 + 49. \]
Шаг 4. Приведем подобные слагаемые:
- \( x^4 — x^4 = 0 \) (квадратные слагаемые сократились).
- Осталось: 49.
Ответ: 49.
Итог:
- 1. a) -16.
- 2. б) 49.
Алгебра
