ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 664 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

В 190 г водного раствора соли добавили 10 г соли. В результате концентрация раствора повысилась на 4,5%. Сколько соли было в растворе первоначально?

Пусть \( x \) г — было соли изначально,
\( (x + 10) \) г — стало соли в растворе,
\[
\frac{x}{190} \cdot 100 \, \text{(концентрация изначально)},
\]
\[
\frac{x + 10}{190 + 10} \cdot 100 \, \text{(концентрация стала)}.
\]
По условию задачи концентрация повысилась на \( 4,5\% = 0,045 \).
Составим и решим уравнение:
\[
\frac{x + 10}{200} — \frac{x}{190} = 0,045.
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
95(x + 10) — 100x = 855.
\]
Раскроем скобки:
\[
95x + 950 — 100x = 855.
\]
Упростим:
\[
95x — 100x = 855 — 950.
\]
\[
-5x = -95.
\]
\[
x = \frac{-95}{-5}.
\]
\[
x = 19 \, \text{(г)} \, \text{- было соли изначально.}
\]
Ответ: 19 г.

1. Обозначим количество соли в первоначальном растворе:

Пусть в растворе изначально содержалось \( x \) г соли.
Тогда масса раствора равна \( 190 \) г, а концентрация соли в первом растворе составляет:

\( \frac{x}{190} \cdot 100\% \, \text{(в процентах)}.
\)

2. После добавления соли:

После добавления 10 г соли масса соли стала равна \( x + 10 \) г.
Масса нового раствора:
\( 190 + 10 = 200 \, \text{г}.
\)

Концентрация соли в новом растворе:

\( \frac{x + 10}{200} \cdot 100\% \, \text{(в процентах)}.
\)

3. Разница концентраций:

По условию, концентрация соли в новом растворе увеличилась на \( 4,5\% \).
То есть:

\( \frac{x + 10}{200} \cdot 100 — \frac{x}{190} \cdot 100 = 4,5.
\)

4. Упростим уравнение:

Сократим \( 100 \) в обеих дробях:

\( \frac{x + 10}{200} — \frac{x}{190} = 0,045.
\)

5. Приведем дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель для \( 200 \) и \( 190 \) — это \( 38000 \).
Преобразуем дроби:

\( \frac{x + 10}{200} = \frac{190(x + 10)}{38000}, \quad \frac{x}{190} = \frac{200x}{38000}.
\)

Подставим в уравнение:

\( \frac{190(x + 10)}{38000} — \frac{200x}{38000} = 0,045.
\)

6. Объединим дроби:

\( \frac{190(x + 10) — 200x}{38000} = 0,045.
\)

Раскроем скобки в числителе:

\( \frac{190x + 1900 — 200x}{38000} = 0,045.
\)

Упростим числитель:

\( \frac{-10x + 1900}{38000} = 0,045.
\)

7. Избавимся от знаменателя:

Умножим обе части уравнения на \( 38000 \):

\( -10x + 1900 = 0,045 \cdot 38000.
\)

Посчитаем правую часть:

\( 0,045 \cdot 38000 = 1710.
\)

Уравнение становится:

\( -10x + 1900 = 1710.
\)

8. Решим уравнение:

Переносим \( 1900 \) в правую часть:

\( -10x = 1710 — 1900.
\)

\( -10x = -190.
\)

Разделим на \( -10 \):

\( x = \frac{-190}{-10}.
\)

\( x = 19.
\)

9. Ответ:

Первоначально в растворе было 19 г соли.

Проверка:

• Первоначальная концентрация соли:
  \( \frac{19}{190} \cdot 100 = 10\% \).
• После добавления соли:
  Масса соли: \( 19 + 10 = 29 \) г.
  Масса раствора: \( 200 \) г.
  Концентрация:
  \( \frac{29}{200} \cdot 100 = 14,5\% \).
• Разница концентраций:
  \( 14,5\% — 10\% = 4,5\% \).

Условие выполнено.

Окончательный ответ:
19 г соли.