Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 645 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что выражение 2х(х — 6) — 3(х² — 4x + 1) при любых значениях х принимает отрицательные значения.
\[
2x(x — 6) — 3(x^2 — 4x + 1) = 2x^2 — 12x — 3x^2 + 12x — 3 = = (2x^2 — 3x^2) — 3 = -x^2 — 3.
\]
Так как \((-x^2)\) есть всегда отрицательное число, а слагаемое \((-3)\) также отрицательное, то и при любых значениях \(x\) выражение принимает отрицательные значения.
Например:
— при \(x = 1\): \(-1^2 — 3 = -1 — 3 = -4;\)
— при \(x = -1\): \(-(-1)^2 — 3 = -1 — 3 = -4.\)
Шаг 1. Раскроем скобки
Раскроем скобки в каждом из слагаемых.
- Для первого слагаемого 2x(x — 6):2x(x — 6) = 2x^2 — 12x.
- Для второго слагаемого -3(x^2 — 4x + 1):-3(x^2 — 4x + 1) = -3x^2 + 12x — 3.
Шаг 2. Объединим результаты
Теперь сложим оба выражения:
2x^2 — 12x — 3x^2 + 12x — 3.
Шаг 3. Сгруппируем однотипные члены
Сгруппируем однотипные члены (члены с x^2, x и свободные числа):
- Члены с x^2:2x^2 — 3x^2 = -x^2.
- Члены с x:-12x + 12x = 0.
- Свободные числа:-3.
Шаг 4. Запишем итоговое выражение
После упрощения получаем:
— x^2 — 3.
Шаг 5. Анализ знака выражения
Теперь разберем, почему это выражение всегда отрицательное.
- x^2 — это квадрат числа, а квадрат любого числа всегда неотрицателен (x^2 ≥ 0).
- Перед x^2 стоит знак минус (-x^2), поэтому -x^2 всегда отрицательно или равно нулю (-x^2 ≤ 0).
- К отрицательному -x^2 прибавляется ещё -3, что делает выражение строго отрицательным при любых значениях x.
Шаг 6. Проверка на примерах
Подставим несколько конкретных значений x для проверки:
- При x = 1:— x^2 — 3 = -(1^2) — 3 = -1 — 3 = -4.
- При x = -1:— x^2 — 3 = -((-1)^2) — 3 = -1 — 3 = -4.
- При x = 0:— x^2 — 3 = -(0^2) — 3 = 0 — 3 = -3.
Ответ
Выражение -x^2 — 3 всегда отрицательно при любых значениях x.
Алгебра
