ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 645 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что выражение 2х(х — 6) — 3(х² — 4x + 1) при любых значениях х принимает отрицательные значения.

\[
2x(x — 6) — 3(x^2 — 4x + 1) = 2x^2 — 12x — 3x^2 + 12x — 3\]

\[= (2x^2 — 3x^2) — 3 = -x^2 — 3.
\]

Так как \((-x^2)\) есть всегда отрицательное число, а слагаемое \((-3)\) также отрицательное, то и при любых значениях \(x\) выражение принимает отрицательные значения.

Например:
— при \(x = 1\): \(-1^2 — 3 = -1 — 3 = -4;\)
— при \(x = -1\): \(-(-1)^2 — 3 = -1 — 3 = -4.\)

Шаг 1. Раскроем скобки

Раскроем скобки в каждом из слагаемых.

1. Для первого слагаемого 2x(x — 6):2x(x — 6) = 2x^2 — 12x.
2. Для второго слагаемого -3(x^2 — 4x + 1):-3(x^2 — 4x + 1) = -3x^2 + 12x — 3.

Шаг 2. Объединим результаты

Теперь сложим оба выражения:
2x^2 — 12x — 3x^2 + 12x — 3.

Шаг 3. Сгруппируем однотипные члены

Сгруппируем однотипные члены (члены с x^2, x и свободные числа):

1. Члены с x^2:2x^2 — 3x^2 = -x^2.
2. Члены с x:-12x + 12x = 0.
3. Свободные числа:-3.

Шаг 4. Запишем итоговое выражение

После упрощения получаем:
— x^2 — 3.

Шаг 5. Анализ знака выражения

Теперь разберем, почему это выражение всегда отрицательное.

1. x^2 — это квадрат числа, а квадрат любого числа всегда неотрицателен (x^2 ≥ 0).
2. Перед x^2 стоит знак минус (-x^2), поэтому -x^2 всегда отрицательно или равно нулю (-x^2 ≤ 0).
3. К отрицательному -x^2 прибавляется ещё -3, что делает выражение строго отрицательным при любых значениях x.

Шаг 6. Проверка на примерах

Подставим несколько конкретных значений x для проверки:

1. При x = 1:— x^2 — 3 = -(1^2) — 3 = -1 — 3 = -4.
2. При x = -1:— x^2 — 3 = -((-1)^2) — 3 = -1 — 3 = -4.
3. При x = 0:— x^2 — 3 = -(0^2) — 3 = 0 — 3 = -3.

Ответ
Выражение -x^2 — 3 всегда отрицательно при любых значениях x.