ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 644 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) a(b — c) + b(c — a) + c(a — b);
б) a(b + c — bc) — b(c + a — ac) + c(b — a).

a) $a \cdot (b — c) + b \cdot (c — a) + c \cdot (a — b) = ab — ac + bc — ab + ac — bc = 0$ — верно.

б) $a \cdot (b + c — bc) — b \cdot (c + a — ac) + c \cdot (b — a) = ab + ac — abc + bc — ab — ac = 0$ — верно.

а)

Задано выражение:

$$a \cdot (b — c) + b \cdot (c — a) + c \cdot (a — b)$$

Распишем каждое умножение:

• $a \cdot (b — c) = a \cdot b — a \cdot c$
• $b \cdot (c — a) = b \cdot c — b \cdot a$
• $c \cdot (a — b) = c \cdot a — c \cdot b$

Подставляем в исходное выражение:

$$a \cdot b — a \cdot c + b \cdot c — b \cdot a + c \cdot a — c \cdot b$$

Упорядочим слагаемые:

Включаем все подобные слагаемые:

$$a \cdot b — b \cdot a — a \cdot c + c \cdot a + b \cdot c — c \cdot b$$

Упростим выражение:

Заметим, что $a \cdot b = b \cdot a$ и $c \cdot b = b \cdot c$, то есть:

$$a \cdot b — b \cdot a = 0 \quad \text{и} \quad b \cdot c — c \cdot b = 0$$

Тогда выражение сводится к:

$$— a \cdot c + c \cdot a$$

Так как $— a \cdot c + c \cdot a = 0$, мы получаем:

$$0$$

Ответ для части а: $0$ — верно.

б)

Задано выражение:

$$a \cdot (b + c — bc) — b \cdot (c + a — ac) + c \cdot (b — a)$$

Распишем каждое умножение:

• $a \cdot (b + c — bc) = a \cdot b + a \cdot c — a \cdot bc$
• $— b \cdot (c + a — ac) = — b \cdot c — b \cdot a + b \cdot ac$
• $c \cdot (b — a) = c \cdot b — c \cdot a$

Подставляем в исходное выражение:

$$a \cdot b + a \cdot c — a \cdot bc — b \cdot c — b \cdot a + b \cdot ac + c \cdot b — c \cdot a$$

Упорядочим слагаемые:

$$(a \cdot b — b \cdot a) + (a \cdot c — c \cdot a) + (- a \cdot bc + b \cdot ac) + (- b \cdot c + c \cdot b)$$

Упростим выражение:

• $a \cdot b — b \cdot a = 0$
• $a \cdot c — c \cdot a = 0$
• $— b \cdot c + c \cdot b = 0$

Теперь остаются только следующие слагаемые:

$$— a \cdot bc + b \cdot ac$$

Группируем оставшиеся слагаемые:

Переносим общие множители:

$$— bc \cdot a + ac \cdot b$$

Теперь это выражение сводится к:

$$ab \cdot c — abc$$

Очевидно, что $ab \cdot c — abc = 0$.

Ответ для части б: $0$ — верно.