ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 627 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

(Задача-исследование.) В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого, написанный в начале XVIII в., предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в 2 раза и к произведению прибавил 5 единиц; затем полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа, а результат произведённых действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».
1) Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа. 2) Предложите соседу по парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат. 3) Найдите число, задуманное соседом. 4) Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа, предложенного в учебнике Л.Ф. Магницкого.

1) Загадаем число 21.
Шаг 1: Увеличим количество десятков в 2 раза: \( 2 \cdot 2 = 4 \).
Шаг 2: Прибавим к произведению 5 единиц: \( 4 + 5 = 9 \).
Шаг 3: Увеличим полученную сумму в 5 раз: \( 9 \cdot 5 = 45 \).
Шаг 4: Прибавим 10 единиц к новому произведению: \( 45 + 10 = 55 \).
Шаг 5: Прибавим число единиц задуманного числа: \( 55 + 1 = 56 \).
Шаг 6: Вычтем 35 из полученного числа: \( 56 — 35 = 21 \).
4) Доказательство:
Пусть \( x \) — десятки в задуманном числе, а \( y \) — единицы задуманного числа.
Тогда получаем выражение:
\[
((x \cdot 2 + 5) \cdot 5 + 10 + y) — 35 = ((10x + 25 + 10 + y) — 35) = (10x + 35 + y — 35) = 10x + y.
\]
В числе 21 количество десятков равно 2, а единиц — 1.
Подставим в получившееся выражение:
\[
10 \cdot 2 + 1 = 20 + 1 = 21.
\]

Шаг 1. Что нужно доказать?
Нам нужно показать, что предложенная последовательность операций на любом числе \( x \), где \( x = 10a + b \) (число состоит из десятков \( a \) и единиц \( b \)), возвращает исходное число \( x \).

Шаг 2. Обозначения
— \( a \) — количество десятков в числе (например, для числа 21 это \( a = 2 \)).
— \( b \) — количество единиц в числе (например, для числа 21 это \( b = 1 \)).
— Исходное число \( x \) можно записать как:
\( x = 10a + b.
\)

Шаг 3. Последовательность операций

1. Увеличим количество десятков в 2 раза.Количество десятков в числе \( a \), умножаем на 2:\( 2a.
   \)
2. Прибавим к результату произведение 5 единиц.Произведение единиц \( b \) на 5:\( 5b.
   \)Прибавляем это к удвоенному количеству десятков:
   \( 2a + 5b.
   \)
3. Увеличим полученную сумму в 5 раз.Умножаем результат \( 2a + 5b \) на 5:\( 5 \cdot (2a + 5b) = 10a + 25b.
   \)
4. Прибавим 10 единиц.К результату \( 10a + 25b \) прибавляем 10:\( 10a + 25b + 10.
   \)
5. Прибавим число единиц исходного числа.К результату \( 10a + 25b + 10 \) прибавляем \( b \):\( 10a + 25b + 10 + b = 10a + 26b + 10.
   \)
6. Вычтем 35.Из результата \( 10a + 26b + 10 \) вычитаем 35:\( (10a + 26b + 10) — 35 = 10a + 26b — 25.
   \)Упростим выражение:

   \( 10a + b.
   \)

Шаг 4. Полученный результат

Мы получили выражение \( 10a + b \), которое равно исходному числу \( x \).
Таким образом, последовательность операций всегда возвращает задуманное число.

Шаг 5. Проверим на примере \( x = 21 \)

1. Задуманное число: \( x = 21 \), где \( a = 2 \), \( b = 1 \).
   Запишем число как \( x = 10a + b = 10 \cdot 2 + 1 = 21 \).
2. Шаг 1: Увеличим количество десятков в 2 раза:
   \( 2a = 2 \cdot 2 = 4. \)
3. Шаг 2: Прибавим произведение 5 единиц:
   \( 4 + 5b = 4 + 5 \cdot 1 = 4 + 5 = 9. \)
4. Шаг 3: Увеличим сумму в 5 раз:
   \( 9 \cdot 5 = 45. \)
5. Шаг 4: Прибавим 10 единиц:
   \( 45 + 10 = 55. \)
6. Шаг 5: Прибавим число единиц:
   \( 55 + b = 55 + 1 = 56. \)
7. Шаг 6: Вычтем 35:
   \( 56 — 35 = 21. \)

Результат совпадает с задуманным числом \( x = 21 \).

Шаг 6. Общий вывод
Мы доказали, что последовательность операций возвращает задуманное число \( x \) для любого \( x = 10a + b \).
На примере \( x = 21 \) убедились, что результат совпадает с исходным числом.
Значит, решение верно.