ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 625 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что при некоторых натуральных значениях n значение выражения n³ + n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях n значение выражения:
а) n³ + 31n;
б) n³ — 29n?

a)
\[
\frac{n^3 + 31n}{30} = \frac{(n^3 + n) + 30n}{30} \quad — \text{кратно 30;}
\]

б)
\[
\frac{n^3 — 29n}{30} = \frac{(n^3 + n) — 30n}{30} \quad — \text{кратно 30.}
\]

Значения кратны 30, так как \(n^3 + n\) по условию кратно 30.

Шаг 1: Разбор кратности исходного выражения \( n^3 + n \)

Так как \( n^3 + n \) кратно 30, это значит, что:
\[
n^3 + n = 30k, \quad k \in \mathbb{N}.
\]
Или, другими словами, \( n^3 + n \) делится на 30.

Шаг 2: Проверка выражения \( n^3 + 31n \) (пункт a)

Запишем выражение:
\[
n^3 + 31n.
\]
Разделим его на 30:
\[
n^3 + 31n = (n^3 + n) + 30n.
\]
Мы знаем, что \( n^3 + n \) кратно 30, то есть делится на 30. Также \( 30n \) очевидно делится на 30.

Следовательно:
\[
n^3 + 31n \text{ тоже кратно 30.}
\]

Ответ для пункта a: Да, выражение \( n^3 + 31n \) кратно 30.

Шаг 3: Проверка выражения \( n^3 — 29n \) (пункт б)

Запишем выражение:
\[
n^3 — 29n.
\]
Разделим его на 30:
\[
n^3 — 29n = (n^3 + n) — 30n.
\]
Мы знаем, что \( n^3 + n \) кратно 30, то есть делится на 30. Также \( 30n \) очевидно делится на 30.

Следовательно:
\[
n^3 — 29n \text{ тоже кратно 30.}
\]

Ответ для пункта б: Да, выражение \( n^3 — 29n \) кратно 30.

Итоговый ответ:
a) Да, \( n^3 + 31n \) кратно 30.
б) Да, \( n^3 — 29n \) кратно 30.