Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 615 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при любом значении х разность многочленов 0,7х4 + 0,2х² и -0,3х4 + 1/5х² — 8 принимает положительное значение.
\[
0,7x^4 + 0,2x^2 — 5 — (-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 — 8) =
= 0,7x^4 + 0,2x^2 — 5 + 0,3x^4 — 0,2x^2 + 8 =
= (0,7x^4 + 0,3x^4) + (-5 + 8) = x^4 + 3.
\]
Так как любое число, возведённое в положительную степень, есть положительное число, а также число 3 положительно, то и разность многочленов принимает положительное значение.
Например,
при \(x = 1\):
\[
1^4 + 3 = 1 + 3 = 4;
\]
при \(x = -1\):
\[
(-1)^4 + 3 = 1 + 3 = 4.
\]
Шаг 1. Исходное выражение
\[ 0,7x^4 + 0,2x^2 — 5 — \left(-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 — 8\right) \]
Шаг 2. Раскрываем скобки
1. Раскрываем внешние скобки перед выражением \(-(-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 — 8)\):
При раскрытии знаки внутри скобок меняются на противоположные:
\[ -\left(-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 — 8\right) = +0,3x^4 — \frac{1}{5}x^2 + 8 \]
2. Подставляем это в исходное выражение:
\[ 0,7x^4 + 0,2x^2 — 5 + 0,3x^4 — \frac{1}{5}x^2 + 8 \]
Шаг 3. Приводим подобные слагаемые
1. Группируем члены с \(x^4\):
\[ 0,7x^4 + 0,3x^4 = x^4 \]
2. Группируем члены с \(x^2\):
\[ 0,2x^2 — \frac{1}{5}x^2 \]
Переводим \(0,2\) и \(\frac{1}{5}\) в одинаковую форму:
\[ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
Тогда:
\[ \frac{1}{5}x^2 — \frac{1}{5}x^2 = 0 \]
3. Группируем числа:
\[ -5 + 8 = 3 \]
Шаг 4. Итоговое выражение
После упрощения получаем:
\[ x^4 + 3 \]
Шаг 5. Анализ результата
1. \(x^4\) — это четная степень числа \(x\). Любое число, возведённое в четную степень, всегда положительно или равно нулю.
То есть \(x^4 \geq 0\).
2. Число \(3\) положительно.
Таким образом, сумма \(x^4 + 3\) всегда принимает положительное значение.
Шаг 6. Проверка на примерах
Пример 1: \(x = 1\)
Подставляем \(x = 1\) в выражение \(x^4 + 3\):
\[ 1^4 + 3 = 1 + 3 = 4 \]
Пример 2: \(x = -1\)
Подставляем \(x = -1\) в выражение \(x^4 + 3\):
\[ (-1)^4 + 3 = 1 + 3 = 4 \]
Пример 3: \(x = 0\)
Подставляем \(x = 0\) в выражение \(x^4 + 3\):
\[ 0^4 + 3 = 0 + 3 = 3 \]
Итог
Упрощённое выражение:
\[ x^4 + 3 \]
Вывод: разность многочленов всегда принимает положительное значение, так как \(x^4 \geq 0\), а добавление \(3\) делает результат строго положительным.
Алгебра
