ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 61 Макарычев, Миндюк, Нешков — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличинное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.
1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому – из седьмого десятка.
2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
3) Проведите доказательство.

1)
1 ученик
Числа 23, 29
23 – 1 = 22 – не делится на 6
23 + 1 = 24 – делится на 6
29 – 1 = 28 – не делится на 6
29 + 1 = 30 – делится на 6

2 ученик
Числа 61, 67
61 – 1 = 60 – делится на 6
61 + 1 = 62 – не делится на 6
67 – 1 = 66 – делится на 6
67 + 1 = 68 — не делится на 6

2) Справедливость равенства следует из того, что само простое число и числа, уменьшенные и увеличенные на 1, являются тремя последовательными натуральными числами. Известно, что хотя бы одно из них обязательно делится на 3 и хотя бы одно из них является четным, то есть делится на 2. Поэтому одно из этих чисел делится на 6.

3)

Доказательство свойства простых чисел

Задание

Докажите, что любое простое число, начиная с 5, при увеличении на 1 или уменьшении на 1 делится на 6.

Шаг 1: Проверка на примерах

Шаг 2: Общее доказательство

Простые числа (начиная с 5) можно записать в виде:

p = 6k + 1 или p = 6k + 5

Так как другие формы либо чётные, либо делятся на 3 (а значит, не могут быть простыми).

Рассмотрим два случая:

• Если p = 6k + 1, то:
  p — 1 = 6k (делится на 6),
  p + 1 = 6k + 2 (не делится на 6).
• Если p = 6k + 5, то:
  p — 1 = 6k + 4 (не делится на 6),
  p + 1 = 6k + 6 (делится на 6).

Вывод

Любое простое число, начиная с 5, при увеличении или уменьшении на 1 даёт число, делящееся на 6.