ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 607 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;
б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

а) Пусть \( 2x + 1 \) и \( 2x + 3 \) — два последовательных нечётных числа. Значит,
\[
2x + 1 + (2x + 3) = 2x + 1 + 2x + 3 = 4x + 4 = 4 \cdot (x + 1).
\]
Так как множитель 4 делится на 4, то и сумма двух последовательных нечётных чисел делится на 4.

Например, \( 1 \) и \( 3 \) — два последовательных нечётных числа:
\( 1 + 3 = 4 \) (делится на 4).

б) Пусть \( 2x + 1 \), \( 2x + 3 \), \( 2x + 5 \), \( 2x + 7 \) — четыре последовательных нечётных числа. Значит,
2x + 1 + (2x + 3) + (2x + 5) + (2x + 7) =

= 2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 + 2x + 7 =

= 8x + 16 = 8⋅(x+2).
Так как множитель 8 делится на 8, то и сумма четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8.

Например, \( 1 \), \( 3 \), \( 5 \), \( 7 \) — четыре последовательных нечётных числа:
\( 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \) (делится на 8).

1. Представление нечётных чисел
Любое нечётное число можно записать в виде:
2n + 1,
где n — целое число. Это общее выражение для нечётных чисел.
Два последовательных нечётных числа можно записать как:
2n + 1 и 2n + 3.

2. Сложим два числа
Сумма этих двух чисел:
(2n + 1) + (2n + 3).

Раскроем скобки:
2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4.

3. Вынесем общий множитель
В выражении 4n + 4 вынесем 4 за скобки:
4n + 4 = 4 · (n + 1).

4. Проверка делимости
Мы видим, что сумма двух последовательных нечётных чисел 4 · (n + 1) содержит множитель 4. Это означает, что сумма делится на 4.

Вывод: сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4.

Пример
Возьмём два последовательных нечётных числа, например 1 и 3.
Их сумма:
1 + 3 = 4.
Число 4 делится на 4. Условие выполняется.

б) Докажем, что сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8

1. Представление четырёх последовательных нечётных чисел
Четыре последовательных нечётных числа можно записать как:
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7.

2. Сложим все четыре числа
Сумма этих чисел:
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7).

Раскроем скобки и сложим:
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = 8n + 16.

3. Вынесем общий множитель
В выражении 8n + 16 вынесем 8 за скобки:
8n + 16 = 8 · (n + 2).

4. Проверка делимости
Мы видим, что сумма четырёх последовательных нечётных чисел 8 · (n + 2) содержит множитель 8. Это означает, что сумма делится на 8.

Вывод: сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

Пример
Возьмём четыре последовательных нечётных числа, например 1, 3, 5, 7.
Их сумма:
1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Число 16 делится на 8. Условие выполняется.

Итог
1. Сумма двух последовательных нечётных чисел всегда кратна 4.
2. Сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8.

Доказательства завершены!