Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 607 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что:
а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;
б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.
а) Пусть \( 2x + 1 \) и \( 2x + 3 \) — два последовательных нечётных числа. Значит,
\[
2x + 1 + (2x + 3) = 2x + 1 + 2x + 3 = 4x + 4 = 4 \cdot (x + 1).
\]
Так как множитель 4 делится на 4, то и сумма двух последовательных нечётных чисел делится на 4.
Например, \( 1 \) и \( 3 \) — два последовательных нечётных числа:
\( 1 + 3 = 4 \) (делится на 4).
—
б) Пусть \( 2x + 1 \), \( 2x + 3 \), \( 2x + 5 \), \( 2x + 7 \) — четыре последовательных нечётных числа. Значит,
2x + 1 + (2x + 3) + (2x + 5) + (2x + 7) =
= 2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 + 2x + 7 =
= 8x + 16 = 8⋅(x+2).
Так как множитель 8 делится на 8, то и сумма четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8.
Например, \( 1 \), \( 3 \), \( 5 \), \( 7 \) — четыре последовательных нечётных числа:
\( 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \) (делится на 8).
1. Представление нечётных чисел
Любое нечётное число можно записать в виде:
2n + 1,
где n — целое число. Это общее выражение для нечётных чисел.
Два последовательных нечётных числа можно записать как:
2n + 1 и 2n + 3.
2. Сложим два числа
Сумма этих двух чисел:
(2n + 1) + (2n + 3).
Раскроем скобки:
2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4.
3. Вынесем общий множитель
В выражении 4n + 4 вынесем 4 за скобки:
4n + 4 = 4 · (n + 1).
4. Проверка делимости
Мы видим, что сумма двух последовательных нечётных чисел 4 · (n + 1) содержит множитель 4. Это означает, что сумма делится на 4.
Вывод: сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4.
Пример
Возьмём два последовательных нечётных числа, например 1 и 3.
Их сумма:
1 + 3 = 4.
Число 4 делится на 4. Условие выполняется.
б) Докажем, что сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8
1. Представление четырёх последовательных нечётных чисел
Четыре последовательных нечётных числа можно записать как:
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7.
2. Сложим все четыре числа
Сумма этих чисел:
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7).
Раскроем скобки и сложим:
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = 8n + 16.
3. Вынесем общий множитель
В выражении 8n + 16 вынесем 8 за скобки:
8n + 16 = 8 · (n + 2).
4. Проверка делимости
Мы видим, что сумма четырёх последовательных нечётных чисел 8 · (n + 2) содержит множитель 8. Это означает, что сумма делится на 8.
Вывод: сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.
Пример
Возьмём четыре последовательных нечётных числа, например 1, 3, 5, 7.
Их сумма:
1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Число 16 делится на 8. Условие выполняется.
Итог
1. Сумма двух последовательных нечётных чисел всегда кратна 4.
2. Сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8.
Доказательства завершены!
Алгебра
