Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 581 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Расположите в порядке возростания числа а, а2 и а3, если:
a) 0 < a < 1:
a^3 < a^2 < a
b) a > 1:
a < a^2 < a^3
в) −1 < a < 0:
a^3 < a^2 < a
г) a < −1:
a^3 < a < a^2
а) \(0 < a < 1\)
\(a^3 < a^2 < a\)
б) \(a > 1\)
\(a < a^2 < a^3\)
в) \(-1 < a < 0\)
\(a < a^3 < a^2\)
г) \(a < -1\)
\(a^3 < a < a^2\)
a) \( 0 < a < 1 \)
Когда \( a \) находится между 0 и 1, то для таких чисел возведение в степень уменьшает их значение. Это связано с тем, что для чисел, меньших 1, увеличение степени приводит к уменьшению числа. Например:
— \( a^2 \) больше, чем \( a^3 \), потому что квадрат числа меньше единицы уменьшает его меньше, чем куб.
— \( a^3 \) меньше, чем \( a^2 \), потому что куб числа меньше единицы еще сильнее уменьшает его.
Итак, \( a^3 < a^2 < a \) выполняется, так как \( a^3 \) всегда будет наименьшим, затем идет \( a^2 \), и, наконец, само число \( a \).
б) \( a > 1 \)
Когда \( a > 1 \), возведение в степень увеличивает число. Таким образом:
— \( a^2 \) больше, чем \( a \), потому что квадрат числа больше единицы увеличивает его.
— \( a^3 \) больше, чем \( a^2 \), так как куб числа больше единицы увеличивает его еще сильнее.
Следовательно, для \( a > 1 \) выполняется неравенство \( a < a^2 < a^3 \).
в) \( -1 < a < 0 \)
Когда \( a \) находится между -1 и 0, то для отрицательных чисел возведение в степень 3 (нечетную степень) увеличивает его по модулю, но оставляет числом отрицательным, а возведение в степень 2 (четную степень) делает его положительным:
— \( a^3 \) будет меньше \( a \), потому что возведение в куб увеличивает его по модулю, но оно остается отрицательным, и по величине (по модулю) меньше самого числа.
— \( a^2 \) будет больше, чем \( a^3 \), потому что \( a^2 \) всегда положительное, а \( a^3 \) отрицательное.
Итак, для \( -1 < a < 0 \) выполняется неравенство \( a < a^3 < a^2 \).
г) \( a < -1 \)
Когда \( a < -1 \), возведение в степень также ведет к увеличению числа по модулю, но знак остается отрицательным. Куб числа будет меньше, чем оно само, а квадрат будет больше:
— \( a^3 \) будет меньше \( a \), так как куб числа отрицательного (меньше -1) становится более отрицательным.
— \( a^2 \) будет больше \( a^3 \), потому что квадрат отрицательного числа больше, чем его куб.
Таким образом, для \( a < -1 \) выполняется неравенство \( a^3 < a < a^2 \).
Алгебра
