ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 568 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном k:

а) число 3^4k оканчивается единицей;
б) число 10^k − 1 кратно 3.

Решение задач

а) 34^k = (34)^k = 81^k

Оканчивается цифрой 1, так как единица в любой степени равна 1, т.е. 1^k = 1.

б)

1. 0^k = 0: следовательно, 10^k — число, которое всегда будет оканчиваться 0.
2. 10^k — 1: всегда оканчивается 9.
3. 9 кратно 3: значит 10^k — 1 при любом натуральном k кратно 3.

а) 34^k = (3⁴)^k = 81^k

1. Использование свойства степени:
   Для любого числа a, (a^b)^c = a^b·c.
   Применяя это, получаем:
   34^k = (3⁴)^k = 3^4k = 81^k.
2. Последняя цифра числа 81^k:
   Рассматриваем степени числа 81:
   81¹ = 81,
   81² = 6561,
   81³ = 531441 и т.д.
   Все эти числа заканчиваются на 1.
   Следовательно, 81^k всегда оканчивается на 1.

Ответ: Последняя цифра числа 81^k — 1.

б)

1. 0^k = 0
   Любое натуральное число, возведённое в степень, оканчивается на ту же цифру, что и само число, за исключением 0, 5 и 6.
   В случае с числом 0:
   0^k = 0 при любом натуральном k.
   Следовательно, число оканчивается на 0.
2. 10^k — 1:
   10^k всегда оканчивается на 0 (например, 10, 100, 1000).
   Тогда 10^k — 1 будет оканчиваться на 9 (9, 99, 999 и т.д.).
3. Число 10^k — 1 кратно 3:
   Так как 9 делится на 3, и каждое число вида 9, 99, 999 и т.п. также делится на 3,
   то 10^k — 1 при любом натуральном k делится на 3.

Ответ:
— 0^k = 0;
— 10^k — 1 оканчивается на 9;
— 10^k — 1 кратно 3.