ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 347 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m и график данной функции:
а) не имеют общих точек;
б) имеют одну общую точку;
в) имеют две общие точки.

Условие задачи:
Дана кусочная функция:
\[
y =
\begin{cases}
-x + 1, & x \leq 1, \\
2x — 3, & x > 1.
\end{cases}
\]
Требуется:
а) определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) и график функции не имеют общих точек;
б) определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) и график функции имеют ровно одну общую точку;
в) определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) и график функции имеют ровно две общие точки.

Решение:

Построение графика:
1. Для \( x \leq 1 \):
Уравнение \( y = -x + 1 \) — это прямая с угловым коэффициентом \( -1 \), проходящая через точку \( (1, 0) \).
Примеры точек:
— \( x = 0 \), \( y = -(0) + 1 = 1 \), точка \( (0, 1) \).
— \( x = -1 \), \( y = -(-1) + 1 = 2 \), точка \( (-1, 2) \).

2. Для \( x > 1 \):
Уравнение \( y = 2x — 3 \) — это прямая с угловым коэффициентом \( 2 \), проходящая через точку \( (1, -1) \).
Примеры точек:
— \( x = 2 \), \( y = 2(2) — 3 = 1 \), точка \( (2, 1) \).
— \( x = 3 \), \( y = 2(3) — 3 = 3 \), точка \( (3, 3) \).

График состоит из двух прямых:
— \( y = -x + 1 \) для \( x \leq 1 \);
— \( y = 2x — 3 \) для \( x > 1 \), соединённых в точке \( (1, 0) \).

Анализ пересечения с прямой \( y = m \):
Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Её пересечение с графиком функции зависит от значения \( m \).

• Для \( m > 1 \):
  Прямая пересекает только ветвь \( y = 2x — 3 \) (при \( x > 1 \)).
  Имеется ровно одна общая точка.
• Для \( m = 1 \):
  Прямая \( y = 1 \) пересекает обе ветви графика:
  — С \( y = -x + 1 \) при \( x = 0 \) (\( -(0) + 1 = 1 \));
  — С \( y = 2x — 3 \) при \( x = 2 \) (\( 2(2) — 3 = 1 \)).
  Имеется ровно две общие точки.
• Для \( 0 < m < 1 \):
  Прямая пересекает только ветвь \( y = -x + 1 \) (при \( x \leq 1 \)).
  Имеется ровно одна общая точка.
• Для \( m = 0 \):
  Прямая \( y = 0 \) проходит через точку соединения двух ветвей графика (\( (1, 0) \)).
  Имеется ровно одна общая точка.
• Для \( m < 0 \):
  Прямая пересекает только ветвь \( y = 2x — 3 \) (при \( x > 1 \)).
  Имеется ровно одна общая точка.
• Для \( m < -1 \):
  Прямая не пересекает график функции.
  Общих точек нет.

Ответ:

• Не имеют общих точек: \( m < -1 \).
• Имеют ровно одну общую точку: \( -1 \leq m < 1 \) или \( m > 1 \).
• Имеют ровно две общие точки: \( m = 1 \).