Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 347 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Постройте график функции
Определите, при каких значениях m прямая y = m и график данной функции:
а) не имеют общих точек;
б) имеют одну общую точку;
в) имеют две общие точки.
Условие задачи:
Дана кусочная функция:
\[
y =
\begin{cases}
-x + 1, & x \leq 1, \\
2x — 3, & x > 1.
\end{cases}
\]
Требуется:
а) определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) и график функции не имеют общих точек;
б) определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) и график функции имеют ровно одну общую точку;
в) определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) и график функции имеют ровно две общие точки.
Решение:
Построение графика:
1. Для \( x \leq 1 \):
Уравнение \( y = -x + 1 \) — это прямая с угловым коэффициентом \( -1 \), проходящая через точку \( (1, 0) \).
Примеры точек:
— \( x = 0 \), \( y = -(0) + 1 = 1 \), точка \( (0, 1) \).
— \( x = -1 \), \( y = -(-1) + 1 = 2 \), точка \( (-1, 2) \).
2. Для \( x > 1 \):
Уравнение \( y = 2x — 3 \) — это прямая с угловым коэффициентом \( 2 \), проходящая через точку \( (1, -1) \).
Примеры точек:
— \( x = 2 \), \( y = 2(2) — 3 = 1 \), точка \( (2, 1) \).
— \( x = 3 \), \( y = 2(3) — 3 = 3 \), точка \( (3, 3) \).
График состоит из двух прямых:
— \( y = -x + 1 \) для \( x \leq 1 \);
— \( y = 2x — 3 \) для \( x > 1 \), соединённых в точке \( (1, 0) \).
Анализ пересечения с прямой \( y = m \):
Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Её пересечение с графиком функции зависит от значения \( m \).
- Для \( m > 1 \):
Прямая пересекает только ветвь \( y = 2x — 3 \) (при \( x > 1 \)).
Имеется ровно одна общая точка. - Для \( m = 1 \):
Прямая \( y = 1 \) пересекает обе ветви графика:
— С \( y = -x + 1 \) при \( x = 0 \) (\( -(0) + 1 = 1 \));
— С \( y = 2x — 3 \) при \( x = 2 \) (\( 2(2) — 3 = 1 \)).
Имеется ровно две общие точки. - Для \( 0 < m < 1 \):
Прямая пересекает только ветвь \( y = -x + 1 \) (при \( x \leq 1 \)).
Имеется ровно одна общая точка. - Для \( m = 0 \):
Прямая \( y = 0 \) проходит через точку соединения двух ветвей графика (\( (1, 0) \)).
Имеется ровно одна общая точка. - Для \( m < 0 \):
Прямая пересекает только ветвь \( y = 2x — 3 \) (при \( x > 1 \)).
Имеется ровно одна общая точка. - Для \( m < -1 \):
Прямая не пересекает график функции.
Общих точек нет.
Ответ:
- Не имеют общих точек: \( m < -1 \).
- Имеют ровно одну общую точку: \( -1 \leq m < 1 \) или \( m > 1 \).
- Имеют ровно две общие точки: \( m = 1 \).
Алгебра
