ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1232 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если \( y \) есть среднее арифметическое \( x \) и \( z \), то \( x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 — 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0 \)

\(x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 — 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0\)

\(y = \frac{x + z}{2}\) — среднее арифметическое \(x\) и \(z\).

\(2y = x + z\)

\(4y^2 = (x + z)^2\).

Подставим в выражение \(4y^2\):

\(x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 = x^2(x + z)^2 + z^2(x + z)^2 = 0\)

\(x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 — x^2(x^2 + 2xz + z^2) + z^2(x^2 + 2xz + z^2) = 0\)

\(x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 — x^4 — 2x^3z — x^2z^2 + z^2x^2 + 2xz^3 + z^4 = 0\)

\(0 = 0\).

Дано уравнение:

\( x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 — 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0 \)

где \( y \) — среднее арифметическое \( x \) и \( z \), то есть:

\( y = \frac{x + z}{2} \)

Следовательно, \( 2y = x + z \) и \( 4y^2 = (x + z)^2 \).

Шаг 1: Подстановка выражения для \( 4y^2 \)

Подставим \( 4y^2 = (x + z)^2 \) в уравнение:

\( x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 = x^2(x + z)^2 + z^2(x + z)^2 \)

Шаг 2: Раскрытие скобок

Раскроем скобки в правой части уравнения:

\( x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 = x^2(x^2 + 2xz + z^2) + z^2(x^2 + 2xz + z^2) \)

Это преобразуется в:

\( x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 = x^4 + 2x^3z + x^2z^2 + z^2x^2 + 2xz^3 + z^4 \)

Шаг 3: Упрощение и проверка

Упростим уравнение, вычитая одинаковые члены слева и справа:

\( x^4 + 2x^3z — 2xz^3 — z^4 — x^4 — 2x^3z — x^2z^2 + z^2x^2 + 2xz^3 + z^4 = 0 \)

После сокращения всех членов получаем:

\( 0 = 0 \)