Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1228 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3 , и числом 1 кратна 3.
Пусть число \( x \). Число не кратно 3, остаток будет 1 или 2.
Остаток равен 1:
\((3x + 1)^2 — 1 = 9x^2 + 3x + 1 — 1 = 9x^2 + 3x = 3x(3x + 1)\) — число кратно 3, так как один из множителей равен 3.
Остаток равен 2:
\((3x + 2)^2 — 1 = 9x^2 + 6x + 4 — 1 = 9x^2 + 3x + 3 = 3(3x^2 + 3x + 1)\) — число кратно 3, так как один из множителей равен 3.
Значит, разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
Пусть натуральное число \( n \) не кратно 3. Тогда возможны два случая для остатка от деления \( n \) на 3: остаток равен 1 или 2.
Случай 1: Остаток равен 1
В этом случае \( n = 3k + 1 \), где \( k \) — целое число.
Квадрат числа \( n \):
n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1
\]
Разность между квадратом и числом 1:
n^2 — 1 = 9k^2 + 6k + 1 — 1 = 9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)
\]
Так как \( 3(3k^2 + 2k) \) делится на 3, то разность кратна 3.
Случай 2: Остаток равен 2
В этом случае \( n = 3k + 2 \), где \( k \) — целое число.
Квадрат числа \( n \):
n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4
\]
Разность между квадратом и числом 1:
n^2 — 1 = 9k^2 + 12k + 4 — 1 = 9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)
\]
Так как \( 3(3k^2 + 4k + 1) \) делится на 3, то разность кратна 3.
Заключение:
В обоих случаях разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
Алгебра
