Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1226 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт осаток 1.
Пусть первое число будет \( x \), а второе — \( (x + 1) \).
\((x + 1)^3 — x^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 — x^3 = 3x^2 + 3x + 1 = 3x(x + 1) + 1\).
Так как \( x(x + 1) \) — произведение двух последовательных чисел, в котором одно число четное и делится на 2, а второе — нечетное, то произведение \( 3x(x + 1) \) точно делится на 6. Так как остается слагаемое 1, то это и будет остатком.
Значит, разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 дает остаток 1.
Два последовательных натуральных числа: \( x \) и \( x + 1 \).
Доказательство:
Рассмотрим разность их кубов:
(x + 1)^3 — x^3
\]
Раскроем скобки:
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
\]
Таким образом, разность кубов будет равна:
(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) — x^3 = 3x^2 + 3x + 1
\]
Заметим, что выражение \( 3x^2 + 3x \) можно представить как:
3x(x + 1)
\]
Так как \( x(x + 1) \) — это произведение двух последовательных чисел, одно из которых четное, то:
- \( x(x + 1) \) делится на 2.
Следовательно, \( 3x(x + 1) \) делится на 6, так как:
- 3 делится на 3.
- Число \( x(x + 1) \) делится на 2.
Таким образом, \( 3x(x + 1) \) делится на 6, а остается слагаемое 1, которое и будет остатком при делении на 6.
Заключение:
Таким образом, разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 действительно дает остаток 1.
Алгебра
