Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1206 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что сумма 1³ + 2³ + … + 99³ делится на 100.
1³ + 2³ + … + 99³ =
= (1³ + 99³) + (2³ + 98³) + … + (49³ + 51³) + 50³ =
= (1 + 99)(1² — 99 + 99²) + (2 + 98)(2² — 2 · 98 + 98²) + …
+ (49 + 51)(49² — 49 · 51 + 51²) + 125 000 =
= 100(1² — 99 + 99²) + 100((2² — 2 · 98 + 98²) + …
+ 100(49² — 49 · 51 + 51²) + 100 · 1250.
Так как каждое слагаемое имеет множитель 100,
то вся сумма делится на 100.
Постановка задачи:
Докажите, что сумма кубов чисел от 1 до 99, а именно:
\(1^3 + 2^3 + \ldots + 99^3\)
делится на 100.
Доказательство:
1. Рассмотрим пары чисел, сумма которых равна 100:
\((1, 99), (2, 98), \ldots, (49, 51)\) и отдельно число 50.
2. Для каждой пары \((k, 100-k)\), сумма кубов равна:
\(k^3 + (100-k)^3\)
3. Раскроем суммы кубов для каждой пары:
\(k^3 + (100-k)^3 = k^3 + (100^3 — 3 \cdot 100^2 \cdot k + 3 \cdot 100 \cdot k^2 — k^3)\)
= \(100^3 — 3 \cdot 100^2 \cdot k + 3 \cdot 100 \cdot k^2\)
= \(100(100^2 — 3 \cdot 100 \cdot k + 3 \cdot k^2)\)
4. Заметим, что каждое слагаемое в скобках делится на 100.
Таким образом, сумма кубов для каждой пары делится на 100.
5. Осталось рассмотреть куб числа 50:
\(50^3 = 125000\)
Очевидно, что 125000 делится на 100.
6. Таким образом, вся сумма:
\((1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + \ldots + (49^3 + 51^3) + 50^3\)
делится на 100, так как каждая пара и число 50 дают слагаемое, делящееся на 100.
Вывод:
Сумма кубов чисел от 1 до 99 делится на 100.
Алгебра
