Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1166 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Постройте в одной системе координат в первой координатной четверти графики функций \( y = x \), \( y = x^2 \), \( y = x^3 \), \( y = \sqrt{x} \).
а) Укажите координаты точек, которые являются общими для всех этих графиков.
б) Опишите взаимное расположение этих графиков на отрезке \([0; 1]\) и на луче \([1; +\infty)\).
в) Глядя на рисунок, расположите в порядке возрастания числа: \( 0,37; 0,37^2; 0,37^3; \sqrt{0,37} \).
г) Расположите в порядке убывания числа: \( 4,6; 4,6^2; 4,6^3; \sqrt{4,6} \).
Функция \(y = \sqrt{x}\)
| x | 0 | 1 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 |
Функция \(y = x\)
| x | 0 | 1 |
|---|---|---|
| y | 0 | 1 |
Функция \(y = x^2\)
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 4 |
Функция \(y = x^3\)
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 8 |
Решение задачи
а) Общие точки графиков: (0; 0) и (1; 1).
б) Взаимное расположение графиков:
- На отрезке \([0; 1]\): \(\sqrt{x} > x > x^2 > x^3\).
- На луче \([1; +\infty)\): \(x^3 > x^2 > x > \sqrt{x}\).
в) Для чисел \(0,37\), \(0,37^2\), \(0,37^3\), \(\sqrt{0,37}\):
Порядок возрастания: \(0,37^3\), \(0,37^2\), \(0,37\), \(\sqrt{0,37}\).
г) Для чисел \(4,6\), \(4,6^2\), \(4,6^3\), \(\sqrt{4,6}\):
Порядок убывания: \(4,6^3\), \(4,6^2\), \(4,6\), \(\sqrt{4,6}\).
а) Общие точки графиков
Найдем точки, которые принадлежат всем четырем графикам:
При \(x = 0\): \(y = \sqrt{0} = 0\), \(y = 0\), \(y = 0^2 = 0\), \(y = 0^3 = 0\). Точка (0; 0) общая.
При \(x = 1\): \(y = \sqrt{1} = 1\), \(y = 1\), \(y = 1^2 = 1\), \(y = 1^3 = 1\). Точка (1; 1) общая.
Ответ: Общие точки графиков: (0; 0) и (1; 1).
б) Взаимное расположение графиков
Рассмотрим порядок расположения графиков на двух интервалах:
На отрезке \([0; 1]\):
\(y = \sqrt{x}\) растет быстрее всех (наибольшие значения).
\(y = x\) идет вторым.
\(y = x^2\) меньше, чем \(y = x\).
\(y = x^3\) меньше всех (наименьшие значения).
Итог: \(\sqrt{x} > x > x^2 > x^3\) на \([0; 1]\).
На луче \([1; +\infty)\):
\(y = x^3\) растет быстрее всех (наибольшие значения).
\(y = x^2\) идет вторым.
\(y = x\) меньше, чем \(y = x^2\).
\(y = \sqrt{x}\) меньше всех (наименьшие значения).
Итог: \(x^3 > x^2 > x > \sqrt{x}\) на \([1; +\infty)\).
в) Расположение чисел \(0,37\), \(0,37^2\), \(0,37^3\), \(\sqrt{0,37}\)
Число \(0,37\) находится в интервале \([0; 1]\), значит, порядок значений определяется как:
\(0,37^3\) (наименьшее значение).
\(0,37^2\) (второе по величине).
\(0,37\) (третье по величине).
\(\sqrt{0,37}\) (наибольшее значение).
Ответ: В порядке возрастания: \(0,37^3\), \(0,37^2\), \(0,37\), \(\sqrt{0,37}\).
г) Расположение чисел \(4,6\), \(4,6^2\), \(4,6^3\), \(\sqrt{4,6}\)
Число \(4,6\) находится в интервале \([1; +\infty)\), значит, порядок значений определяется как:
\(4,6^3\) (наибольшее значение).
\(4,6^2\) (второе по величине).
\(4,6\) (третье по величине).
\(\sqrt{4,6}\) (наименьшее значение).
Ответ: В порядке убывания: \(4,6^3\), \(4,6^2\), \(4,6\), \(\sqrt{4,6}\).
