Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1040 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество (10n+5) ² = 100n(n+1) + 25.
Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5.
Найдите по этому правилу 25², 45², 75², 115².
Возведение чисел, оканчивающихся на 5, в квадрат
Формула
(10n + 5)2 = 100n(n + 1) + 25
Доказательство
(10n)2 + 2 ⋅ 10n ⋅ 5 + 52 = 100n2 + 100n + 25
100n2 + 100n + 25 = 100n2 + 100n + 25.
Правило
Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, нужно:
- Умножить 100 на количество десятков.
- Умножить на следующее число за ним.
- Прибавить 25.
Примеры вычислений
- 252:
\(100 \cdot 2 \cdot (2 + 1) + 25 = 200 \cdot 3 + 25 = 600 + 25 = 625\). - 452:
\(100 \cdot 4 \cdot (4 + 1) + 25 = 400 \cdot 5 + 25 = 2000 + 25 = 2025\). - 752:
\(100 \cdot 7 \cdot (7 + 1) + 25 = 700 \cdot 8 + 25 = 5600 + 25 = 5625\). - 1152:
\(100 \cdot 11 \cdot (11 + 1) + 25 = 1100 \cdot 12 + 25 = 13200 + 25 = 13225\).
Доказательство тождества:
Докажем, что \((10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25\).
- Раскроем квадрат суммы:\((10n + 5)^2 = (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2.\)
- Вычислим каждое слагаемое:
- \((10n)^2 = 100n^2,\)
- \(2 \cdot 10n \cdot 5 = 100n,\)
- \(5^2 = 25.\)
- Сложим все слагаемые:\((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25.\)
- Вынесем \(100n\) за скобки:\(100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25.\)
Таким образом, тождество доказано: \((10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25.\)
Правило возведения в квадрат:
Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, нужно:
- Определить количество десятков числа \(n\) (число без последней цифры 5).
- Умножить \(n\) на следующее за ним число \((n + 1).\)
- Умножить результат на 100 и прибавить 25.
Формула: \((10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25.\)
Примеры вычислений:
- \(25^2:\)
- Количество десятков: \(n = 2.\)
- Следующее число: \(n + 1 = 3.\)
- Вычисляем: \(100 \cdot 2 \cdot 3 + 25 = 600 + 25 = 625.\)
Ответ: \(25^2 = 625.\)
- \(45^2:\)
- Количество десятков: \(n = 4.\)
- Следующее число: \(n + 1 = 5.\)
- Вычисляем: \(100 \cdot 4 \cdot 5 + 25 = 2000 + 25 = 2025.\)
Ответ: \(45^2 = 2025.\)
- \(75^2:\)
- Количество десятков: \(n = 7.\)
- Следующее число: \(n + 1 = 8.\)
- Вычисляем: \(100 \cdot 7 \cdot 8 + 25 = 5600 + 25 = 5625.\)
Ответ: \(75^2 = 5625.\)
- \(115^2:\)
- Количество десятков: \(n = 11.\)
- Следующее число: \(n + 1 = 12.\)
- Вычисляем: \(100 \cdot 11 \cdot 12 + 25 = 13200 + 25 = 13225.\)
Ответ: \(115^2 = 13225.\)
Алгебра
