ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1040 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество (10n+5) ² = 100n(n+1) + 25.
Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5.
Найдите по этому правилу 25², 45², 75², 115².

Возведение чисел, оканчивающихся на 5, в квадрат

Формула

(10n + 5)² = 100n(n + 1) + 25

Доказательство

(10n)² + 2 ⋅ 10n ⋅ 5 + 5² = 100n² + 100n + 25
100n² + 100n + 25 = 100n² + 100n + 25.

Правило

Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, нужно:

1. Умножить 100 на количество десятков.
2. Умножить на следующее число за ним.
3. Прибавить 25.

Примеры вычислений

• 25²:
  \(100 \cdot 2 \cdot (2 + 1) + 25 = 200 \cdot 3 + 25 = 600 + 25 = 625\).
• 45²:
  \(100 \cdot 4 \cdot (4 + 1) + 25 = 400 \cdot 5 + 25 = 2000 + 25 = 2025\).
• 75²:
  \(100 \cdot 7 \cdot (7 + 1) + 25 = 700 \cdot 8 + 25 = 5600 + 25 = 5625\).
• 115²:
  \(100 \cdot 11 \cdot (11 + 1) + 25 = 1100 \cdot 12 + 25 = 13200 + 25 = 13225\).

Доказательство тождества:

Докажем, что \((10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25\).

• Раскроем квадрат суммы:\((10n + 5)^2 = (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2.\)
• Вычислим каждое слагаемое:
  • \((10n)^2 = 100n^2,\)
  • \(2 \cdot 10n \cdot 5 = 100n,\)
  • \(5^2 = 25.\)
• Сложим все слагаемые:\((10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25.\)
• Вынесем \(100n\) за скобки:\(100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25.\)

Таким образом, тождество доказано: \((10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25.\)

Правило возведения в квадрат:

Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, нужно:

1. Определить количество десятков числа \(n\) (число без последней цифры 5).
2. Умножить \(n\) на следующее за ним число \((n + 1).\)
3. Умножить результат на 100 и прибавить 25.

Формула: \((10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25.\)

Примеры вычислений:

• \(25^2:\)
  • Количество десятков: \(n = 2.\)
  • Следующее число: \(n + 1 = 3.\)
  • Вычисляем: \(100 \cdot 2 \cdot 3 + 25 = 600 + 25 = 625.\)

  Ответ: \(25^2 = 625.\)

• \(45^2:\)
  • Количество десятков: \(n = 4.\)
  • Следующее число: \(n + 1 = 5.\)
  • Вычисляем: \(100 \cdot 4 \cdot 5 + 25 = 2000 + 25 = 2025.\)

  Ответ: \(45^2 = 2025.\)

• \(75^2:\)
  • Количество десятков: \(n = 7.\)
  • Следующее число: \(n + 1 = 8.\)
  • Вычисляем: \(100 \cdot 7 \cdot 8 + 25 = 5600 + 25 = 5625.\)

  Ответ: \(75^2 = 5625.\)

• \(115^2:\)
  • Количество десятков: \(n = 11.\)
  • Следующее число: \(n + 1 = 12.\)
  • Вычисляем: \(100 \cdot 11 \cdot 12 + 25 = 13200 + 25 = 13225.\)

  Ответ: \(115^2 = 13225.\)