Учебник «Алгебра» для 7-го класса, написанный известными авторами Макарычевым, Миндюком и Нешковым, представляет собой важный шаг в изучении алгебры для школьников. Он не только помогает освоить основные понятия и методы, но и развивает логическое мышление и аналитические способности учащихся.
Основные особенности учебника:
- Структурированное содержание: Учебник разбит на логические разделы, что позволяет легко ориентироваться в материале. Каждый раздел начинается с теоретической части, после чего следуют примеры и задачи для закрепления знаний.
- Разнообразие заданий: В книге представлены различные виды задач — от простых до более сложных, что позволяет учащимся постепенно повышать уровень сложности и уверенности в своих силах.
- Практические примеры: Авторы используют реальные жизненные ситуации для иллюстрации математических понятий, что делает материал более доступным и интересным для учеников.
- Дополнительные ресурсы: Учебник включает в себя задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы, позволяющие учителям оценить уровень усвоения материала.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1037 Макарычев, Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:
а) x² — 2xy + y² + a²;
б) 4x² + a² — 4x + 1;
в) 9b² — 6b + 4c² + 1;
г) a² + 2ab + 2b² + 2b + 1;
д) x² — 4xy + y² + x²y² + 1;
е) x² + y² + 2x + 6y + 10.
а) \(x^2 — 2xy + y^2 + a^2 = (x — y)^2 + a^2 \geq 0\), при любых значениях переменной.
б) \(4x^2 + a^2 — 4x + 1 = (4x^2 — 4x + 1) + a^2 = (2x — 1)^2 + a^2 \geq 0\), при любых значениях переменной.
в) \(9b^2 — 6b + 4c^2 + 1 = (9b^2 — 6b + 1) + 4c^2 = (3b — 1)^2 + 4c^2 \geq 0\), при любых значениях переменной.
г) \(a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1 = a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2b + 1 =\)
\((a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2b + 1) = (a + b)^2 + (b + 1)^2 \geq 0\), при любых значениях переменной.
д) \(x^2 — 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1 = x^2 — 2xy — 2xy + y^2 + x^2y^2 + 1 =\)
\((x^2 — 2xy + y^2) + (x^2y^2 — 2xy + 1) = (x — y)^2 + (xy — 1)^2 \geq 0\), при любых значениях переменной.
е) \(x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10 = x^2 + y^2 + 2x + 6y + 9 + 1 =\)
\((x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) =\)
\((x + 1)^2 +\)\((y + 3)^2 \geq 0\), при любых значениях переменной.
а) \(x² — 2xy + y² + a²\)
Уравнение: \(x² — 2xy + y² + a²\)
1. Заметим, что \(x² — 2xy + y²\) — это полный квадрат разности: \((x — y)²\).
2. Перепишем выражение: \((x — y)² + a²\).
3. Сумма квадратов \((x — y)² + a²\) всегда неотрицательна, так как квадрат любого числа \(\geq 0\).
Вывод: Многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
б) \(4x² + a² — 4x + 1\)
Уравнение: \(4x² + a² — 4x + 1\)
1. Группируем: \(4x² — 4x + 1 + a²\).
2. Заметим, что \(4x² — 4x + 1\) — это полный квадрат: \((2x — 1)²\).
3. Перепишем выражение: \((2x — 1)² + a²\).
4. Сумма квадратов \((2x — 1)² + a²\) всегда неотрицательна.
Вывод: Многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
в) \(9b² — 6b + 4c² + 1\)
Уравнение: \(9b² — 6b + 4c² + 1\)
1. Группируем: \(9b² — 6b + 1 + 4c²\).
2. Заметим, что \(9b² — 6b + 1\) — это полный квадрат: \((3b — 1)²\).
3. Перепишем выражение: \((3b — 1)² + 4c²\).
4. Сумма квадратов \((3b — 1)² + 4c²\) всегда неотрицательна.
Вывод: Многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
г) \(a² + 2ab + 2b² + 2b + 1\)
Уравнение: \(a² + 2ab + 2b² + 2b + 1\)
1. Группируем: \(a² + 2ab + b² + b² + 2b + 1\).
2. Заметим, что \(a² + 2ab + b²\) — это полный квадрат: \((a + b)²\).
3. Заметим, что \(b² + 2b + 1\) — это полный квадрат: \((b + 1)²\).
4. Перепишем выражение: \((a + b)² + (b + 1)²\).
5. Сумма квадратов \((a + b)² + (b + 1)²\) всегда неотрицательна.
Вывод: Многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
д) \(x² — 4xy + y² + x²y² + 1\)
Уравнение: \(x² — 4xy + y² + x²y² + 1\)
1. Группируем: \(x² — 4xy + y² + 1 + x²y²\).
2. Заметим, что \(x² — 4xy + y²\) — это полный квадрат: \((x — 2y)²\).
3. Перепишем выражение: \((x — 2y)² + 1 + x²y²\).
4. Сумма квадратов \((x — 2y)² + 1 + x²y²\) всегда неотрицательна.
Вывод: Многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
е) \(x² + y² + 2x + 6y + 10\)
Уравнение: \(x² + y² + 2x + 6y + 10\)
1. Группируем: \(x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9\).
2. Заметим, что \(x² + 2x + 1\) — это полный квадрат: \((x + 1)²\).
3. Заметим, что \(y² + 6y + 9\) — это полный квадрат: \((y + 3)²\).
4. Перепишем выражение: \((x + 1)² + (y + 3)²\).
5. Сумма квадратов \((x + 1)² + (y + 3)²\) всегда неотрицательна.
Вывод: Многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
Алгебра
